更新时间：2022-08-25 19:16
Box-Cox变换是Box和Cox在1964年提出的一种广义幂变换方法，是统计建模中常用的一种数据变换，用于连续的响应变量不满足正态分布的情况。Box-Cox变换之后，可以一定程度上减小不可观测的误差和预测变量的相关性。Box-Cox变换的主要特点是引入一个参数，通过数据本身估计该参数进而确定应采取的数据变换形式，Box-Cox变换可以明显地改善数据的正态性、对称性和方差相等性，对许多实际数据都是行之有效的。
Box-Cox变换的一般形式为：
式中为经Box-Cox变换后得到的新变量，为原始连续因变量，为变换参数。以上变换要求原始变量取值为正，若取值为负时，可先对所有原始数据同加一个常数使其为正值，然后再进行以上的变换。对不同的所作的变换不同。在时该变换为对数变换，时为倒数变换，而在时为平方根变换。Box-Cox变换中参数的估计有两种方法：(1)最大似然估计；(2)Bayes方法。通过求解值，就可以确定具体采用哪种变换形式。
Box-Cox变换是对回归因变量Y的如下变换：
在这里是一个待定变换参数。对于不同的，所作的变换也不相同，所以Box-Cox变换是一族变换，它包括了平方根变换()，对数变换()和倒数变换()等常用变换，对因变量的n个观测值，应用上述变换，可得变换后的向量
我们要确定变换参数，使得满足
即要求通过因变量的变换，使得变换过的向量与回归自变量具有线性相依关系，误差也服从正态分布．误差各分量是等方差且相互独立，故Box-Cox变换是通过参数的适当选择。达到对原来数据的“综合治理”，使其满足一个正态线性回归模型的所有假设条件。
用极大似然方法来确定，由于，故对固定的，和的似然函数为
其中，为变换的Jacobi行列式
当固定时，是不依赖于参数和的常数因子，的其余部分关于和求导数，令其等于零，可求得和的极大似然估计
残差平方和为
对应的似然最大值为
该式为的一元函数，通过求它的最大值来确定，因为是x的单调函数，问题可转化为求的最大值，对式(3)求对数，略去与无关的常数项，得
其中，
式(4)对Box-Cox变换在计算机上实现带来很大的方便，因为我们只要求出残差平方和的最小值，就可以求出的最大值，虽然很难找出使达到最小值的的解析表达式，但是对一系列的给定值，通过最普通的求最小二乘估计的回归程序，很容易计算出对应的，画出关于的曲线，可在图上近似地找出达到最小值的。
Box-Cox变换变换的具体步骤如下：
(1)对给定的值，计算，如果，用式(6)计算，否则用式(7)；
(2)利用式(5)计算残差平方和；
(3)对一系列的值，重复上述步骤，得到相应的残差平方和的一串值，以为横轴，作出相应的曲线，用直观的方法，找出使达到最小值的点。
(4)利用式(2)，求出。
Box-Cox变换的一个显著优点是通过求变换参数来确定变换形式，而这个过程完全基于数据本身而无须任何先验信息，这无疑比凭经验或通过尝试而选用对数、平方根等变换方式要客观和精确。
Box-Cox变换的目的是为了让数据满足线性模型的基本假定，即线性、正态性及方差齐性，然而经Box-Cox变换后数据是否同时满足了以上假定，仍需要考察验证。