由于该方程的闭式解难以直接求取， 可采用数值解法得到其近似解。在PSWF 脉冲的持续时间Ts内进行N 点采样， 可将式(1)离散化并展开得到的矩阵关系式可表示为：式中，λ 表示矩阵H 的特征值；ψ 表示λ 对应的特征向量。将通过特征值分解求取的特征值λ 按照单调递减关系排列，则所对应的特征向量可表示为：

（2）

ψ=[ψ0,ψ1,…,ψm] (3)

式中，ψ0,ψ1,…,ψm即为不同阶的椭圆球面波PSWF 函数，

其时间带宽积可表示为：

C=πTsB (4)

其中，B 为信号带宽。根据不同的信号带宽和码片周期，PSWF 函数的阶数选取原则可表示为：

(5)

其中，m 表示PSWF 的阶数。各阶PSWF 函数波形在带宽范围内的能量聚集度可表示为：

(6)

则信号的码片波形可表示为各阶椭圆球面波PSWF 函数的线性组合， 如下式所示：

(7)

其中，αm为各阶椭圆球面波函数线性组合的权值。

针对北斗系统在C 频段的信号波形设计， 从信号的兼容性约束、导航性能以及接收机实现复杂度三个方面提出C 频段信号的波形设计标准。

(1) 为满足RA 服务的兼容性约束要求， 需计算每一颗卫星的C 频段下行信号在RA 服务带宽内的功率通量密度PFD， 如下式所示：

（1）

为C 频段下行信号的等效全向辐射功率；Latm为大气损耗， 假设为0.5 dB；d 是卫星到地球表面的距离， 假设为23 000 km；GC – band Down - link是C 波段下行导航信号的归一化功率谱密度。

(2)为了提高信号的导航性能，提出在满足兼容性约束要求的基础上，通过合理的信号波形设计增加导航信号的均方根带宽， 减小时延估计误差， 提高导航信号的定位精度。导航信号时延估计误差的方差下界可表示为：

（2）

其中，BL是接收机等效噪声带宽；P (f) 是信号时域波形的傅里叶变换；C/N0是信号接收载噪比。同时, 通过增加信号频谱的高频分量改善抗多径性能。单反射路径的多径误差

公式可表示为：

（3）

其中，βr为接收机带宽；α1是多径与直达信号幅度比；d是相关器间隔；τ1是多径反射的额外延迟。

(3) 由于信号自相关函数的边峰数量和幅度是影响接收机捕获和跟踪稳健性以及接收机实现复杂度的主要因素， 所以在信号波形设计过程中， 可通过设置波形参数来限制边峰的归一化幅度， 如下式所示：

(4)

其中，νi表示信号自相关函数第i 个边峰的归一化幅度；κ 为限制边峰幅度的波形调制参数。因此， 根据C 频段信号设计的兼容性约束要求， 提出北斗全球信号体制在C 频段上采用基于椭圆球面波PSWF 函数的波形调制方式， 并通过对PSWF 波形的时域、频域特性分析， 以及C 频段信号设计的带宽限制，提出选择0 阶、2 阶PSWF 函数， 以及1 阶、3 阶PSWF函数分别进行线性组合构造C 频段导航信号的时域表达式：

(5) (6)

进一步， 为了确保接收机捕获和跟踪的稳健性， 根据提出的信号波形设计标准， 对信号自相关函数的边峰幅度进行设置（ 这里初步提出两种方案， 包括波形调制参数κ=0.1 和κ=0.6 两种情况） ， 并在C 频段信号的兼容性约束条件以及信号的导航性能约束条件下优化式(5) 和式(6) 中线性组合的权值， 实现在信号的兼容性、导航性能以及接收机实现复杂度的多约束条件下的权衡和折中。

过去，卫星运营商经历过频谱之战。但为了下一代无线业务而争取更多的C频段接入，电信公司开展了规模宏大和心情急切的四处游说活动，卫星运营商可能不得不面对他们最艰巨的频谱之战。今年下半年，随着至关重要的国际电信联盟（ITU）会议的举办，卫星运营商和他们的客户不得不与时间竞赛，共同推出引人注目的协定，从而保证C频段继续服务于卫星，而不是拱手让给力量强大而且财力丰厚的竞争对手。