更新时间：2022-08-25 10:17
K-L变换（ Karhunen-Loeve Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。K-L变换的突出优点是去相关性好，是均方误差（MSE，Mean Square Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。
设X=(X1，X2，…，XN)T为N维随机矢量，mX=E(X)和CX=E{(X－mX)(X－mX)T}分别为其平均值向量和协方差矩阵，ei和λi分别为CX的特征向量和对应的特征值，其中i=1，…，N，并设特征值已按降序排列，即λ1≥λ2≥…≥λN，则K-L变换式为：
Y=A(X-mx) (1.1)
其中变换矩阵A的行为CX的特征值，即：
式中：eij表示第i个特征向量的第j个分量。
①Y的均值向量为零向量0。即：
mY=E{Y} =E{A(X-mX)}=0 (1.2)
②K-L变换使矢量信号各分量不相关，即变换域信号的协方差为对角矩阵。
③K-L反变换式为：
X=A-1Y+mX=ATY+mx (1.3)
④K-L变换是在均方误差准则下失真最小的一种变换，故又称作最佳变换。
这条性质与压缩编码有关。其意义是，如果在数据传输中只传送变换后的前n个系数组成的矢量，则根据这n个系数得到的恢复值可以得到最小的均方误差，其值为：
上式表明，在K-L变换下，最小均方误差值等于变换域中矢量信号的最小的N－n个方差的和。特别有意义的是，如果这些分量的均值为零，则在恢复时只要把这些分量置零，便可以使均方误差最小。
K-L变换是一维变换，在对图像信号进行变换时，矢量可以是一幅图像或一幅图像中的子图像。矢量各分量之间的相关性反映了像素之间的相关性。为了得到矢量X，可以将图像或子图像的像素按行行相接或列列相接的次序排列，如图1所示。
(a)行行相接
(b)列列相接
图1由二维图像信号建立矢量信号
在建立了矢量信号之后，就要计算协方差矩阵CX，然后计算的特征矢量才能得到K-L变换矩阵A。
由此可见，尽管K-L变换具有性质(2)和(4)的最佳去相关和误差性能，但是由于求解特征值和特征根并非易事，特别是在维数高时甚至可能求不出来，而且变换矩阵与图像的内容有关，因而难以满足实时处理的要求。但是，K-L变换在变换编码中具有理论指导意义，人们通过比较，寻找出一些性能与K-L变换接近，但实现却容易得多的“准最佳”编码方法。
K-L变换虽然具有MSE意义下的最佳性能，但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。求特征值与特征向量并不是一件容易的事，维数较高时甚至求不出来。即使能借助计算机求解，也很难满足实时处理的要求，而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法，另一方面则寻找一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。而K-L变换就常常作为对这些变换性能的评价标准。