更新时间：2023-12-07 06:02
Lanczos算法实际上是Arnoldi算法对于对称矩阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。
Lanczos算法
给定对称矩阵A;
选取单位向量v_1;
设定v_0为零向量;
设定b_0=0;
for i=1:m
a_i=(Av_i,v_i);
b_i=||Av_i-a_iv_i-b_{i-1}v_{i-1}||;
b_i v_{i+1} = Av_i - a_i v_i - b_{i-1}v_{i-1};
end
由上述Lanczos算法得：V'AV=T,
其中V=[v_1,...,v_m], T=tridiag(b,a,b), a=[a_1,...,a_m], b=[b_1,...,b_m].
A代表任意一个需要三对角化的矩阵，b是任意一个向量，且b的行数与A的列数相同因为要用到v = A*q;
nmax是你想要得到的矩阵的大小，例如nmax=12，最后得到12*12的三对角矩阵。
结果输出的是一个三对角矩阵
输入形式为：lanczos([1 2 3;4 5 6;7 8 9],[1;1;1],12);
function T = lanczos(A, b, nmax)
m = size(A,1);
beta(1) = 0;
qprev = zeros(m, 1);
q = b / norm(b);
for n = 1:nmax
v = A*q;
alpha(n) = q' * v;
v = v - beta(n) * qprev - alpha(n) * q;
beta(n+1) = norm(v);
qprev = q;
q = v / beta(n+1);
end
beta = beta(2:end-1);
T = diag(alpha) + diag(beta,1) + diag(beta,-1);