L符号

更新时间:2022-08-25 16:30

L符号是个类似大O符号渐近符号,多用于表示特定算法计算复杂性

定义

L符号的定义如下:

其中,c为一正实数,且 为一实数 。

L符号主要用于计算数论,表示困难数论问题之算法的复杂性,如整数分解的筛法及离散对数的解法。L符号可简化对这些算法的分析,以 表示主要项, 则用以表示其他较小的项。

当 为0时,

是个lnn的多项式函数;而当为1时,

则会是lnn的指数函数(即n的多项式函数)。

当介于0与1之间时,L符号为lnn的次指数(与超越多项数)函数。

例子

许多通用的整数分解算法都具有次指数复杂度,其中已知最快的为普通数域筛选法,其时间复杂度估算为

其中,。在普通数域筛法出现前,最快的整数分析算法为二元筛法,其时间复杂度估算为

对椭圆曲线离散对数问题而言,已知最快的通用算法为大步小步法,其时间复杂估算为群的开平方。以L符号表示为

已知最快测试一个数是否为质数的算法为AKS质数测试,其时间复杂度为多项式时间,以L符号表示为

其中,c已被证明至多为6

历史

最早出现L符号的文献为卡尔·帕梅朗斯所著的论文《一些整数分解算法的分析与比较》(Analysis and comparison of some integer factoring algorithms)。在此论文中,L符号的参数只有,其中的则因其所分析的算法而设为。

具有两个参数的L符号则由阿尔扬·伦斯特拉及亨德里克·伦斯特拉在其论文《数论中的算法》(Algorithms in Number Theory)中首次引入,用以分析唐·科普斯密思的离散对数算法,为数学文献中最常使用的形式。

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