更新时间:2022-08-26 11:53
Z检验(Z Test)又叫U检验。由于实际问题中大多数随机变量服从或近似服从正态分布,U作为检验统计量与X的均值是等价的,且计算U的分位数或查相应的分布表比较方便。通过比较由样本观测值得到的U的观测值,可以判断数学期望的显著性,我们把这种利用服从标准正态分布统计量的检验方法称为U检验(U-test)
设 为取自正态总体 的一个容量为 的样本, 与 分别为样本均值与样本方差, 为已知常数, . 以下分别是关于未知参数 的U检验方法。
(1)已知 ,检验
选择统计量
在 成立的假定下, 服从 分布,对给定的显著性水平 ,查标准正态分布表可得临界值 ,使得
这说明
为小概率事件。将样本值代入算出统计量的值 。如果 ,则表明在一次试验中小概率事件 出现了,因而拒绝 ,接受 。在以上的假设检验问题中,当构造小概率事件时,利用了统计量 的概率密度曲线两侧尾部的面积,这样的检验称为双侧检验。这里采用双侧检验有直观的解释:因为任何情况下, 都是未知参数 的无偏估计,所以当 成立时,即 时, 与 不应相差太大。因此,对于固定的样本容量 ,如果 太大,则有理由怀疑 的正确性,从而认为 与 有显著差别。 大到什么程度才有足够的理由拒绝 呢?这需要由给定的显著性水平 查得的临界值 来决定。
(2)已知 ,检验
选择统计量
并令
则. 若 成立,还有
对给定的,由标准正态分布表可得临界值,使得
即
这说明事件“” 为小概率事件。因此的拒绝域为. 将样本值代入算出统计量的值,若,则拒绝,接受;否则可接受。
在以上的假设检验问题中,当构造小概率事件时,利用了的分布概率密度曲线的单侧尾部的面积,这样的检验称为单边检验。直观解释是:如果 成立,即 比 的值就不能大得太多。因此,对于固定的样本容量 ,如果太大,则有理由怀疑 的正确性。至于大到什么程度才有足够的理由拒绝 呢?这需要由给定的显著性水平 查得的临界值来决定。
例题:某电器零件的平均电阻一直保持在2.64欧姆,如果改变工艺前后电阻的标准差都保持在0.06欧姆。经工艺改变后测得n=100个零件,其平均值=2.62欧姆,问新工艺是否使此零件的电阻变小?
解 假定该电器零件的电阻服从正态分布,而且可以认为=0.06欧姆。因此考虑对假设的检验,由所提的对立假设可知,应取单侧拒绝域
如果取=0.01,查标准正态分布表可知,而
因为,所以拒绝原假设而接受对立假设,即认为新工艺使零件的电阻显著变小,而检验的值需要查分位数表。更一般地,可以由计算机计算给出,此处为
[H,SIG]=ztest(X,M,sigma,ALPHA,TAIL)
X为样本值,M为,sigma为标准差,ALPHA为显著性水平。TAIL=0时,表示备择假设为“期望值不等M”(双边检验);TAIL=1时,表示备择假设为“期望值大于M”(单边检验);TAIL=-1时,表示备择假设为“期望值小于M”(单边检验)。
当标准差sigma已知时,函数执行一正态检验来判断是否来自一正态分布的样本的期望值,M作为评判标准来估计。在没有重新设置的情况下,ALPHA和TAIL的默认值分别为0.05和0。
SIG为当原假设为真时得到的观察值的概率,当SIG为小概率的时候则对原假设提出置疑。H=0表示在显著水平为ALPHA的情况下,不能拒绝原假设;H=1表示在显著性水平为ALPHA的情况下,拒绝原假设。
例题:给定一组某厂生产的纽扣直径的数据,假设其直径,已知,并且在标准情况下,纽扣的平均直径应该是26(mm),问:是否可以认为这批纽扣的直径符合标准?(显著水平=0.05)
解:总体均值和已知,则,问题就化为根据样本值来判断还是,为此提出假设:
原假设:
备择假设:
Matlab实现过程如下:
>>x=[26.01,26.00,25.98,25.86,26.32,25.58,25.32,25.89,26.32,26.18]
程序运行结果如下:
x=
Columns 1 through 6
26.0100 26.0000 25.9800 25.8600 26.3200 25.5800
Columns 7 through 10
25.3200 25.8900 26.3200 26.1800
>>[H,SIG]=ztest(x,26,4.2,0.05,0)
程序运行结果如下:
H=
SIG=
0.9622
结果H=0,说明在0.05的水平下,不能拒绝原假设,即认为这批纽扣的直径符合标准。