更新时间：2024-10-17 11:27
伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成，负整数和0是它的一阶极点。
（1）在实数域上伽玛函数定义为：
（2）在复数域上伽玛函数定义为：
其中，此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。
（3）在以上定义中换元，可以得到伽马函数另外两个写法：
（4）伽马函数还有一种定义（欧拉无穷乘积定义）：
此式对复平面上除了负整数或0的点都成立，因此可以作为一种普遍的定义。
（5）伽马函数还有一种定义（维尔斯特拉斯无穷乘积定义）：
其中是欧拉-马歇若尼常数。
不完全Gamma函数
详见不完全伽马函数
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n2自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
对进行离散与连续展开，有
对比系数，有
必须在一致收敛域内。
最后的积分中我们可以让取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数集中了
1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：
2、与贝塔函数的关系：
3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：
其中。
4、对，有
这个公式称为余元公式。
由此可以推出以下重要的概率公式：
5、对于，伽马函数是严格凸函数。
6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在处的留数为
Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：即当x取的数越大，Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式，所以当x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。Stirling公式常见的形式有
利用欧拉-麦克劳林公式还可导出更多阶的渐近公式：
伽玛函数的对数的导数称为Digamma函数，记为
。
Digamma函数同调和级数相关，其中
其中
是欧拉常数。
而对于任意x有
在复数范围内，Digamma函数可以写成
而Digamma函数在处的泰勒展开式为
函数为黎曼zeta函数，是关于黎曼猜想的一个重要函数。
类似伽玛函数，Digamma函数可以有渐进式：