（1）惯性参考系之间的时空坐标的洛伦兹变换及其物理意义，集中展现相对论的时空观。

（2）物理规律在任意惯性系中可表述为相同形式，即物理规律的协变性。协变性要求是对各种场和粒子间相互作用规律探索的主要理论指导之一。

（3）把电动力学的基本规律，即麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式表达为协变形式，从而使电动力学成为明显相对论性的理论，可用来解决任意速度带电粒子与电磁场的相互作用问题。

（4）把力学基本规律推广为协变性的相对论力学，由此得到相对论的质量、能量和动量的关系。这些关系是原子能应用的主要理论基础，是解决高能粒子运动转化过程运动学问题的主要工具。

（1）狭义相对性原理（狭义协变性原理）：所有的惯性参考系都是等价的，即物理规律的形式在任何的惯性参考系中都是相同的。也就是说不论通过观测力学现象、电磁现象，还是其他现象，只要观察者处在惯性系中，所看到的规律都是相同的，无法察觉出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理已经被大量实验事实所精确检验过，是一条物理学的基本原理。

（2）光速不变原理：真空中的光速在任何惯性系沿任一方向恒为c，并与光源运动无关。也正是由于光有这样的实验性质，在国际单位制中使用了“光在真空中1/299,792,458秒内所走过的距离”来定义长度单位“米”。光速不变原理是宇宙时空对称性的体现。

物理规律需要在一定的参考系表述出来。在狭义相对论提出以前，人们认为时间和空间是各自独立的绝对的存在。自伽利略时代以来这种绝对时空的观念就开始建立，牛顿创立的经典力学和运动定律就是在绝对时空观的基础上创立。在低速情况下这种观点与实验观测符合的很好，但是在高速情况下绝对时空观与客观实际的矛盾就会显现。

十九世纪中后期，人们从长期的实践中总结出电磁场的基本规律，即麦克斯韦方程组，并由此得出电磁波在真空中传播的速度为c。以绝对时空观的概念出发，电磁波只能在一个特殊参考系中的传播速度为c，所以麦克斯韦方程组只能对该特殊参考系成立。如果是这样的话，那么经典力学中一切惯性参考系的相对性原理在电磁现象中就不再成立。由此，把相对于该特殊参考系的运动称为绝对运动。由于当时人类认识的所有波动比如水波、声波都是在某个介质中机械振动的传播现象，人们认为电磁波也在某种充满空间的弹性介质中传播，这种介质被称为以太。人们把相对以太静止的参考系作为这个特殊参考系。寻找以太，以及确定地球相对于以太的运动，成为十九世纪末物理学的一个重要课题。当时的科学实验已经可以精确测量光速，多次实验的结果都没有发现任何绝对运动的效应，这迫使人们接受在真空中光速相对于任何惯性系都等于c的事实。这与旧的伽利略时空观发生了矛盾。同时以太也成为了1900年开尔文勋爵口中的物理学大厦头顶的“两朵乌云”之一。

除了电磁现象以外，十九世纪末人类的实践活动已经开始深入到物质的微观领域，发现了电子、X射线衍射和天然放射性，人们发现的许多新的现象和规律，使经典物理学的许多基本概念都发生动摇。这个时期物理学面临着巨大变革，反映新时空观念的相对论也正是在这个背景下提出来的。所以，相对论是生产水平和科学技术发展到一定阶段的必然产物。

在爱因斯坦以前，人们广泛关注于麦克斯韦方程组在伽利略变换下不协变的问题，也有人（如庞加莱和洛伦兹）注意到爱因斯坦提出狭义相对论所基于的实验（如迈克尔孙-莫雷干涉仪实验等），也有人推导出过与爱因斯坦类似的数学表达式（如洛伦兹变换），但只有爱因斯坦将这些因素与经典物理的时空观结合起来提出了狭义相对论，并极大的改变了我们的时空观。在这一点上，狭义相对论是革命性的。

狭义相对论从物质运动中抽象出事件的概念。事件在某一地点某一时刻发生。物质运动可以看作一连串事件的发展过程。所以用四个坐标（x，y，z，t）来代表惯性系S中的一个事件。用另一组坐标（x’，y’，z’，t’）代表另一个惯性系S’中的一个事件。由此可以定义一个叫做间隔的物理量，即四维坐标系中两个四维坐标的距离。两个惯性系中的两事件的间隔相同，这就是间隔不变性，间隔是相对论时空观的一个基本概念，把时间与空间的距离统一起来。

相对论的时空坐标变换关系称为洛伦兹变换。设惯性系S’相对于惯性系S的速度为v，S’系相对于S系的运动方向为x方向，则S系的时空坐标变换到S’系可以表达为：

由此得到，从S系的变换到S’系的速度洛伦兹变换式为：

相对论的时空观产生了光锥的概念，在此基础上可以讨论事件的因果关系。两事件的间隔等于零的事件点在四维坐标系中组成一个锥面，被称为光锥。这些间隔被称为类光间隔。

如果两事件可以用低于光速的相互作用相联系，则间隔的平方大于0，这些事件点在四维坐标系中位于光锥之内。这些间隔被称为类时间隔，在光锥内的事件之间存在绝对的因果关系。比如通过无线电波联系，一定是发报者影响收报者的行动。

若两事件的空间距离超过光波在时间t内传播的距离，则间隔的平方小于0，这些事件点在四维坐标系中位于光锥之外，被称为类空间隔。在光锥外的事件之间不可能通过任何方式联系，它们之间没有任何因果关系。类空间隔会导致同时的相对性，也就是说在一个参考系中的不同地点上对准了的时钟，在另一个参考系上观察发现钟是对不准的。

狭义相对论还导致了钟慢效应，即在一个参考系S内部同一地点相继发生两个事件，在另一个相对于参考系S以速度v运动的运动参考系S’中观察这两个事件。在静止参考系S中两事件的间隔为就是时间差： ，被称为固有时。在运动参考系S’中就会观察到两个事件发生在不同地点，也会观察到一个时间差 。可以得到：，所以 ，即实验室参考系中运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程变慢了。物体运动的速度越大，所观察到的它的内部过程进行地越缓慢。

还有尺缩效应，设物体的静止长度是 ，则以速度v平行于此方向运动的物体的长度为，所以运动物体的长度缩短了。钟慢效应和运动尺缩效应是时空的基本属性，与物体和钟内部结构无关。

洛伦兹变换形式上可以看作在四维坐标系中的转动。这个四维空间包括三维空间坐标轴x，y，z，和第四个虚数坐标：ict。所以相对论的四维空间是一个复四维空间。洛伦兹变换的四维形式为：

其中沿x轴方向的特殊洛伦兹变换矩阵为：

四维速度为：，四维速度的分量就是: , 四维速度的变换关系就是:

对于电磁波来讲，四维波矢量为：

矢量的洛伦兹变换为：

这些物理量又被称为四维协变量，计算方法满足爱因斯坦求和公式。用四维形式可以很方便地将相对性原理表示出来。如果一个方程的每一项都是同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程不变。比如某方程的形式为： , 其中和都是四维矢量，在参考系变换下则有：

电动力学的主要规律为麦克斯韦方程组，其满足相对论要求的协变性原理。在相对论框架下，定义四维电流密度为: ，四维势矢量：，和电磁场构成的四维张量：

就可以得到麦克斯韦方程组的协变形式为：，，其中参考系之间的张量变换关系为：。所以自然界的四大相互作用力中，电磁相互作用力完全能纳入狭义相对论的范围，非量子化的相对论性力学在一定条件下能够正确描述带电粒子的运动。

相对论力学修正了经典时空观下的牛顿力学，在这个基础上，静止的物体具有静止质量，对应静止能量 ，这个关系被称为质能关系式。物体的动量与能量构成四维矢量：。运动物体的能量：，运动物体的动量 ，运动物体的质量 ,运动物体的质量,可以得到一条关于物体能量、动量、质量的重要关系式：。相对论最重要的推论之一就是揭示了静止能量的存在。它指出静止粒子内部仍在存在着运动，一定质量的粒子具有一定的内部运动能量。反过来，带有一定内部运动能量的粒子就表现出一定的惯性质量。质能关系在原子核和粒子物理中被大量实验很好地证实，是人类利用原子能的主要理论依据。

迈克尔逊-莫雷（Michelson-Morley）在1887年测量了光速沿不同方向差异的实验。他设计了一种干涉仪，被称为迈克尔逊-莫雷干涉仪,用来检验以太的存在。结果是迈克尔逊的实验否定了以太的存在，表明光速不依赖于观察者所在的参考系，也不依赖于光源相对于观察者的运动。

对双星运动的观测，双星绕其质心运动，若光速依赖于光源速度的话，则双星系统中向着地球运动的一颗星发出的光将比另一颗星传播得更快，因而在地球上观察到的双星运动轨道将发生扭曲，实际并没有观察到这种情况，表明两颗星发出的光传播速度是一样的。这也证明了光速不依赖于光源的运动。

现代也有实验持续验证光速不变的基本事实。人们用高速运动的π0介子作为光源。π0介子是在高能质子间碰撞产生的一种不稳定粒子，它在运动过程中在0.87×10-16秒内将会衰变成两个光子。Alvager的实验中，π0介子以0.9975c的速度运动，实验测定沿π0介子运动方向放出的光子速度为（2.9977+-0.004）108m/s,与用静止光源测得的光速一致。总之，到目前为止，所有实验都指出光速不依赖于观察者所在的参考系，也与光源的运动无关，是自然界的一条基本规律。。

此外，还有大量实验验证了相对论导出的各种效应。例如，横向多普勒效应实验，验证了相对论运动的钟慢效应。高能物理中，高速运动粒子的寿命的测定，证实了钟慢效应。比如观察π介子运动过程中的平均寿命，和观察到μ子高速运动下的平均寿命。实验观测的结果均与钟慢效应的公式计算数值吻合。携带原子钟的环球飞行实验，证实了狭义相对论和广义相对论共同作用下的时钟减慢的总效应。

为了解决牛顿引力理论在实验和理论上遇到的困难，1915年，爱因斯坦把他的引力理论建立在等效原理和广义相对性原理的基础上，并把这一理论看作是狭义相对论的推广，因而称它为广义相对论，但是广义相对论并不完全等价于引力理论。

广义相对论既可以看做狭义相对论的发展，又可以看做万有引力定律的发展。这是一个关于空间、时间和引力的理论。爱因斯坦提出等效原理，猜测万有引力可能是一种几何效应。他又把黎曼几何引入自己的研究，并率先得到了广义相对论的基本方程———爱因斯坦场方程。它指出万有引力不同于一般的力，而是时空弯曲的表现，是一种几何效应。广义相对论的全部内容，可以概括为: “物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。

（1）等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。但是，在现有的广义相对论的理论框架下，等效原理是可以由其他假设推出。具体来说，就是如果时空中有一观者（G），则可在其世界线的一个领域内建立局域惯性参考系，而广义相对性原理要求该系中的克氏符（Christoffel symbols）在观者G的世界线上的值为零。因而现代的相对论学家经常认为其不应列入广义相对论的基本假设，其中比较有代表性的如Synge就认为：等效原理在相对论创立的初期起到了与以往经典物理的桥梁的作用，它可以被称之为“广义相对论的接生婆”，而“在广义相对论这个新生婴儿诞生后把她体面地埋葬掉”。

（2）广义相对性原理（广义协变性原理）：一切参考系都是平权的，换言之，客观真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变。用几何语言描述即为，任何在物理规律中出现的时空量都应当为该时空的度规或者由其导出的物理量。广义相对性原理指出一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响，取消了惯性系的优越地位。

（3）爱因斯坦场方程：它具体表达了时空中的物质（能动张量）对时空几何（曲率张量的函数）的影响，其中对应能动张量的要求（其梯度为零）则包含了物质的运动方程的内容。

在本质上，所有的物理学问题都涉及采用哪个时空观的问题。在二十世纪以前的经典物理学里，人们采用的是牛顿的绝对时空观。而相对论的提出改变了这种时空观，这就导致人们必须依相对论的要求对经典物理学的公式进行改写，以使其具有相对论所要求的洛伦兹协变性而不是以往的伽利略协变性。在经典理论物理的三大领域中，电动力学本身就是洛伦兹协变的，无需改写；统计力学有一定的特殊性，但这一特殊性并不带来很多急需解决的原则上的困难；而经典力学中的大部分都可以成功的改写为相对论形式，以使其可以用来更好的描述高速运动下的物体，但是唯独牛顿的引力理论无法在狭义相对论的框架体系下改写，这直接导致爱因斯坦扩展其狭义相对论，而得到了广义相对论。

爱因斯坦在1915年在普鲁士科学院报告了“基于广义相对论对水星近日点运动的解释”，随后在1916年第七期的物理年鉴上正式发表了“广义相对论基础”一文，给出了广义相对论最初的形式[3]。他首先注意到了被称之为（弱）等效原理的实验事实：引力质量与惯性质量是相等的。这一事实也可以理解为，当除了引力之外不受其他力时，所有质量足够小（即其本身的质量对引力场的影响可以忽略）的测验物体在同一引力场中以同样的方式运动。既然如此，则不妨认为引力其实并不是一种“力”，而是一种时空效应，即物体的质量（准确的说应当为非零的能动张量）能够产生时空的弯曲，引力源对于测验物体的引力正是这种时空弯曲所造成的一种几何效应。这时，所有的测验物体就在这个弯曲的时空中做惯性运动，其运动轨迹正是该弯曲时空的测地线，它们都遵守测地线方程。正是在这样的思路下，爱因斯坦得到了其广义相对论。值得一提的是，引力质量恒等于惯性质量在牛顿力学和狭义相对论中完全是一种巧合，并没有重要意义。但是爱因斯坦却从这几百年司空见惯的事实中找到了新理论的线索。

惯性质量 来自于牛顿定律通过对力和加速度的测量定义，反映了物体对加速度的抵抗。引力质量 来自于万有引力定律通过对力和距离的测量，反应了物体产生与承受引力场的本领。

当空间无引力场时，四维时空是（伪）欧几里得的，即空间是平直的，具有最大的对称性。但是一旦有了引力场，时空对称性将遭到破坏。

弯曲的空间就是非欧几里得空间，按空间弯曲的曲率大于，等于或小于零，对应的几何分别为黎曼几何，欧几里得几何与罗巴切夫斯基几何。非欧几何中的直线为两点间最短的距离，也叫短程线或测地线。在广义相对论看来，引力场化为度规场，或者说引力消失了。所以测地线就是过两点的自由粒子的运动轨迹或光迹。广义相对论弯曲时空的测地线方程为：

加速情形的钟慢效应：当一个时钟绕闭合路径作加速（减速）运动最后回到原地时，它所经历的总时间小于在原地静止时钟所经历的时间。所以在广义相对论框架下，即使在同一坐标系中也无法校准同步时间，一般无法建立同时性的概念。这导致了著名的双生子佯谬效应。

引力场的场强可以表示为标量引力势的梯度与矢量引力势的时间变化率之和，也就是引力场的势分为标势与矢势两部分。引力场场强的表达式为：

,其中为标量势， 为引力势。

引力场中的光速也是均匀的，恒等于c。

引力场本身的运动规律由引力场方程决定。引力场方程将确定引力场特性的度规张量，与确定物质的分布和运动的能量-动量张量联系起来。在弱引力场近似下，应该变成牛顿引力场的泊松方程：，同时引力场应是广义协变的，所以引力场是一个二阶张量场方程。爱因斯坦引力场方程的形式是：。1917年，爱因斯坦又提出了包括宇宙因子项的最普遍形式：

爱因斯坦在惯性力的基础上提出了马赫原理：加速度是相对的，一切物体的惯性效应来自于宇宙空间物质作相对加速运动时的引力作用。但是，在实验精度范围内，不能确定马赫原理的正确性。从理论上又与广义相对论存在一定的矛盾，所以其真实性是值的怀疑的。但是爱因斯坦创立广义相对论受到了马赫思想的启发，所以马赫原理在历史上也具有重要的地位。

验证广义相对论的经典实验有：谱线的引力红移，水星近日点的进动，光线的引力偏折，雷达回波的延迟[10]。

在2016年，LIGO科学合作组织和Virgo合作团队利用先进LIGO探测器，首次探测到了来自于双黑洞并合的引力波信号，验证了广义相对论最重要的推论。

在μ子寿命的实验中，在微观领域证实了双生子佯谬效应。

相对论主要在两个方面有应用：一是高速运动（与光速可比拟的高速），一是强引力场。

狭义相对论相对论效应可以解释高能物理中宇宙射线的现象。例如宇宙射线中含有许多能量极高的μ子，这些μ子在大气层上产生。但是静止μ子的寿命只有2.197×10-6s，如果没有相对论效应，这些μ子只能以接近光速飞行660米，无法穿越大气层。实际上很大部分μ子可以穿越大气层到达地面。对于地面观察μ子的人们来说，由于钟慢效应，它的寿命延长了，而对于μ子来说，由于尺缩效应，它观察到的大气层长度变短了。所以在μ子的寿命内可以飞越大气层。

在医院的放射治疗部，多数设有一台粒子加速器，产生高能粒子来制造同位素，作治疗或造影之用。氟代脱氧葡萄糖的合成便是一个经典例子。由于粒子运动的速度相当接近光速（0.9c—0.9999c），故粒子加速器的设计和使用必须考虑相对论效应。

全球卫星定位系统的卫星上的原子钟，对精确定位非常重要。这些时钟同时受狭义相对论因高速运动而导致的时间变慢（-7.2 μs/日），和广义相对论因较（地面物件）承受着较弱的重力场而导致时间变快效应（+45.9 μs/日）影响。相对论的净效应是那些卫星的时钟较地面的时钟运行得更快。故此，这些卫星的软件需要计算和抵消一切的相对论效应，确保定位准确。全球卫星定位系统的算法本身便是基于光速不变原理的，若光速不变原理不成立，则全球卫星定位系统则需要更换为不同的算法方能精确定位。

过渡金属如铂的内层电子，运行速度极快，相对论效应不可忽略。在设计或研究新型的催化剂时，便需要考虑相对论对电子轨态能级的影响。同理，相对论亦可解释铅的6s惰性电子对效应。这个效应可以解释为何某些化学电池有着较高的能量密度，为设计更轻巧的电池提供理论根据。相对论也可以解释为何水银在常温下是液体，而其他金属却不是。

在当代，在对于引力波的观测和对于一些高密度天体的研究中，广义相对论都是其理论基础之一。而另一方面，广义相对论的提出也为人们重新认识一些如宇宙学、时间旅行等古老的问题提供了新的工具和视角。此外，由广义相对论推导出来的引力透镜效应，让天文学家可以观察到黑洞和不发射电磁波的暗物质，和估计质量在宇宙中的分布状况。

值得一提的是，原子弹的出现和著名的质能关系式（E=mc2）关系不大，而爱因斯坦本人也肯定了这一点。质能关系式只是解释原子弹威力的数学工具而已，对制作原子弹意义不大。

相对论也直接和间接地催生了量子力学的诞生，为研究微观世界的高速运动确立了全新的数学模型。量子力学在建立以后，薛定谔、克莱因、戈登等人先后引入狭义相对论，建立了相对论性的量子力学，发现了Klein-Gordon方程。随后狄拉克建立了狄拉克方程，并由此确定了自旋这个基本物理量的存在。相对论性的量子力学促进了量子场论的建立，量子场论是现代物理研究基本粒子的基础。

1917年爱因斯坦首先将广义相对论用于模型化宇宙的大尺度结构研究，引导了引力论与现代宇宙学的发展。广义相对论为人类认识宇宙图景带来了革命。广义相对论也为理论物理学带来了独特的研究模式，也就是凭借哲学与数学支撑的理性思维去洞察自然的奥秘。

广义相对论促进了几何学的大发展，并催生了统一理论的发展。强-电磁-弱三种相互作用的统一为物理学打开了更加广阔的视野。

爱因斯坦在构建相对论的过程中使对称性原则深入人心，使之成为指导和塑造理论物理的决定性概念或原则。对称性原则加上对称性破缺也是当今凝聚态物理研究的范式。