更新时间：2024-05-07 18:30
一致收敛性是函数列或函数项级数的一种性质。一致收敛函数的判别方法有很多种，最常见的有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。一致收敛函数具有连续性、可积性、可微性的特点。
函数项级数的一致收敛性：设 是函数项级数 的部分和函数列，若 在数集D上一致收敛于函数 ，则称函数项级数 在D上一致收敛于函数 ，或称函数项级数 在D上一致收敛。
函数项级数作为数项级数的推广，一致收敛性的判别法类似于数项级数，都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。另外，结合数项级数的比式判别法和根式判别法，可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法，同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法。
在这些方法中，柯西准则判别法和魏尔斯特拉斯判别法是较为实用和方便的一致收敛判别法，一般要首先考虑使用。如果能用魏尔斯特拉斯判别法判定 一致收敛，则 必定是绝对收敛，从而魏尔斯特拉斯判别法对条件收敛的函数项级数失效。
根据定义判别函数列是否一致收敛。
函数项级数 在D上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N=N(ε)，使
| |<ε对一切正整数m>n>N与一切x∈D成立。
设（Ⅰ） 在区间I上一致收敛；
（Ⅱ）对于每一个 ， 是单调的；
（Ⅲ） 在I上一致有界，即对一切 和正整数n，存在正整数M，使得
| |<=M，
则级数 在I上一致收敛。
设 （Ⅰ） 的部分和函数列 （n=1,2,3,…）在I上一致有界；
（Ⅱ）对于每一个 ， 是单调的；
（Ⅲ）在I上 一致收敛于0（ ），
则 级数 在I上一致收敛。
设 为一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数 ，且存在 ，当n> ， 时，有 ，则函数项级数 一致收敛。
设 为定义在数集D 上正的函数列，记 ，存在正整数N 及实数q、M, 使得：qn(x)≤ q < 1， ≤M 对任意的n > N ，x ∈ D 成立, 则函数项级数 在D 上一致收敛。
设 为定义在数集D 上的函数列，若存在正整数N，使得
对所有 n > N，x ∈ D 成立，则函数项级数 在D上一致收敛。
设 为定义在数集D 上正的函数列，若
存在，那么：
(1)若对 x ∈ D , p(x) > p > 1, 则函数项级数 在D 上一致收敛；
(2)若对 x ∈ D , p(x) < p < 1, 则函数项级数 在D 上不一致收敛。
一致收敛数列具有连续性、可积性、可微性的性质。
若函数列 的每一项 均在[ a， b] 上连续，且一致收敛于 ， 则其极限函数S(x)也在[ a， b] 上连续。
设 在[ a, b] 上一致收敛于S(x), 每一个 都在[ a, b] 上连续, 那么
且函数列 在[ a, b] 上一致收敛于 。
若在[ a, b] 上，函数列 的每一项都有连续导数， 收敛于S(x)， 一致收敛于σ(x)， 则S′(x)=σ(x)，即
根据函数项级数的一致收敛性定义和定理，函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性的区别：
含参变量广义积分的一致收敛性：
若 ，当 时，对 一致收敛，则称对一致收敛。