三角数乘以9加上1仍是三角数。

三角数二倍平方根取整是这个三角数的序数。

三角数的位数和只有1，3，6，9四种。

位数和是1的三角数，它的序数位数和只有1，4，7三种。

序数位数和是1的三角数减1除以9仍是三角数，它的序数位数和是全面的。

序数位数和是4三角数减1除以9，仍是位数和1的三角数。

序数位数和是7的三角数，减1除以9，位数和是3，6，9的三角数。

位数和是3的三角数,序数位数和只有2与6二种。

序数位数和是2的三角数，加上6 除以9，减去序数除以9的满入数（上取整，下同），仍是位数和3，6，9的三角数。

序数位数和是6的三角数，减去3除以9，加上序数除以9的满入数，仍是位数和3，6，9的三角数。

位数和是6的三角数，序数位数和只有3与5二种。

序数位数和是3的三角数，减去6除以9，加上序数除以9的满入数，仍是位数和1的三角数。

序数位数和是5的三角数，加上3除以9，减去序数除以9的满入数，仍是位数和1的三角数。

八岁孩子发现的数学定理：

18世纪的德国出了一个大科学家高斯（ Carl Friedrich Gauss1777－1855）。他生在一个贫穷的家里，父亲什么工作都做过：园丁、劳工、商人助手、杂货店的算帐员等等。母亲是一个石匠的女儿，虽然只读一点点的书，但人非常的聪明。高斯在还不会讲话时就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。

长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。

打过保龄球吗? 保龄球球瓶排列方式就是一个三角数喔！

PS: 三角数即 『 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, ......』1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ...

他八岁时进入乡村小学读书。教算术的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是算术教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑悒的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉些学生处罚了。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

课室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6， 6加4等于10，……”一些小朋友加到一个数字后就擦掉石板上的结果，再加下去，数字越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心额上渗出了汗来。

还不到半点钟，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”

老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去！回去再算！错了！”他想不可能这么快学生就会有答案了。

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前，“老师！我想这个答案是对的。”

算术老师本来想要怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来。因为他自己曾经算过，得到的数值也是5050，这个10岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使到老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的，他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

古时的中国和希腊人怎样算这和：

2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1，1+2，1 +2+3，1+2+3+4，等等为三角数（Triangular number）。他和门徒用1个圆球代表1，并且把三角数用下面的图形表示：

我们用Sn来表示1+2+3+…+n的值要知道Sn的数目，我们可以设想有另外一个Sn（这里用白圆球来表示），把它倒放，并和原来的Sn靠拢拼合起来；我们就得到一个菱形（图二，这里n是等于4的情形），总共有n行，每一行有n+1个圆球，所以全部有n（n+1）个圆球。这是两个Sn，因此一个Sn应该是n（n+1）÷2。

无独有偶，中国人也是用这方法找出Sn的值。宋朝数学家杨辉，他考虑由草束堆成的尖垛，顶层是一束，从上到下逐层增加一束，如果知道底层的束数，就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？答：36束。”他的计算方法和以上的说明是一样的。

毕达哥拉斯和门徒们发现了三角数的一个性质：任意两个连续三角数的和是一个平方数。

很容易联想到的一个问题：是否1^2+2^2+3^2+…+n^2，以及1^3+2^3+3^3+…+n^3也能找到简单公式来算它们的和？

据说那个在澡堂里发现了“浮力定律”而忘记自己仍旧是赤身露体奔跑在街道上高喊着“Eureka！Eureka！”（我已发现了！我已发现了！）的希腊科学家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）早已知道这两个和的公式是：

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）÷6

1^3+2^3+3^3+…n^3=（1+2+…+n）^2

可是在阿基米德以后的希腊数学家想要知道1^4+2^4+3^4+…+n^4的和的公式，却是无能为力。这个和的公式要在1000年后11世纪的阿拉伯数学家Alhean时才知道。

中算家在这方面的成果：

中国数学家很早就认识了等差级数，在中国最早的数学书《周髀算经》里谈到“七衡”（日月运行的圆周）的直径以19833里100步×2递增，这就是等差级数。

约在公元1世纪成书的中国重要数学著作《九章算术》在《衰分》和《均输》二章里的问题和等差级数有关。

在5世纪末南北朝的张丘建在他著的《张丘建算经》就有三个问题是等差级数的问题：

[题一]今有女子善织布，逐日所织的布以仝数递增，已知第一日织五尺，经一月共织39丈，问逐日增多少？

[题二]今有女子不善织布，逐日所织的布以仝数递减，已知第一日织五尺，末一日织一尺，计织30日。问共织布多少。

答：9丈。

[题三]今有某君以钱赠给许多人，先第一人给三钱，第二人给四钱，第三人给五钱，继续依次递增，钱给其他许多人。给完钱后把诸人所得的钱全部收回，再平均分派，结果每人得100钱，问人数多少？

答：195人。

唐朝和宋朝的数学家研究级数，并不是单纯追求趣味性，而是实际的需要。当时的天文学家都假定日、月、星辰在天空中的运动是等加速或等减速运动，每日经行的路程是等差级数。

比如唐朝的天文学家僧一行（683—727），是世界上最早发现恒星在天上的位置会变动的天文学家。在他所著的《大衍历》里就是利用等差级数的求和公式来计算行星的行程。

宋朝时对等差级数和高阶等差级数的研究有最卓越的贡献的该是沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三类的东西推成长方台，底层排成一个长方形，以上的每层长阔各减少一个，因此他想要知道是否有简单的式子可以计算。

他看古算术书：《九章算术》的《商功》章原有长方台体积（古书称为“刍童”）的公式。用这公式来求实际的问题，常常是比原数少。因此他创造了新法《隙积法》以补“古书所不到者”。（“用刍童法求之，常失于数少，予思而得之。”）

假设长方台上底是a×b，下底是a'×b'共有n层，因为从上到下，每一层的纵横各增加一个，所以a'-a=b'-b=n-1，沈括的求和公式是：

ab+（a+1）（b+1）+（a+2）（b+2）+…+a'b'=

读者如果令a=b=1，a'=b'=n，代入以上的公式就可以得到

12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）÷6

沈括留给后世的《梦溪笔谈》是一部内容丰富的科学著作，里面谈到数学、天文、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医药和工程技术等，英国自然科学史家李约瑟教授对这书评价极高。而日本数学家三上义夫（Mikami Yoshio 1875—1950）对沈括非常推崇，他认为对古代数学来讲：“日本的数学家没有一个比得上沈括，像中根元圭精于医学、音乐和历书，但没有沈括的经世之才；本多利明精航海术，有经世才，但不能像沈括的多才多艺。如果在别国中能找到和沈括相比的数学家，那么德国的莱布尼兹和法国的卡罗，在某点上或可和沈括比较，但若一面远胜沈括，同时又多才多艺，那就谈不到了。仅有希腊的阿契泰斯，他的学识经验最能和沈括相比。总之沈括这样的人物，在全世界数学史上找不到，惟有中国出了这一个人。我把沈括当做中国数学家的模范人物或理想人物，是很恰当的。”（见《中国算学之特色》）

在沈括后，宋朝的数学家在级数研究有较好成果的，该算13世纪时的杨辉。他提出了三角垛公式：

1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=n（n+1）（n+2）÷6

元朝朱世杰是一个到处传授数学的教书先生，他在1299年写了一部《算学启蒙》以及1303年写的《四元玉鉴》就研究等差和高阶等差级数，特别是在后面那部著作，他扩充了杨辉的三角垛和公式，建立起属于他的三角数公式，以及更复杂的公式。这些也是比费马早三百多年的时间。

朱世杰的书在17世纪流传到日本去，对日本数学家的级数理论的研究影响很大。反而在中国，自从朱世杰以后的400年来，级数理论却停顿着没有再发展。要到18世纪时的董佑诚和李善兰等才有一些论见。

级数理论和微积分学的产生有密切的关系，中国数学家很早就用几何方法来推算球体的体积。在宋元的时候中国基本上具备了产生微积分的准备条件，可惜却没有一个人能像以后的西欧的莱布尼兹及牛顿那样承先启后的工作。