更新时间：2023-05-03 21:36
{Xn，n≥0}与{Yn，n≥0}是随机过程，如果满足下列条件：
鞅可以用于研究公平赌博(公平博弈)，然而，现实生活中的博弈很多时候都是非公平的，此时，就需要借助上、下鞅的理论，上、下鞅可以解决非公平博弈问题。
定义1 与 是随机过程，如果满足下列条件：
(1)
(2)
(3) 是 的函数。
则称 关于 是一个上鞅。
定义2 与 是随机过程，如果满足下列条件：
(1)
(2)
(3) 是 的函数。
则称 关于 是一个下鞅。
定理 如果 ， 关于 是上(下)鞅， 则 关于 是上(下)鞅。
证明：若，关于是上鞅，则：
进而
即关于是上鞅。
同理，可证关于是下鞅。
先介绍Jensen不等式，设为一凸函数，即对有
其推广结果为：对
因此，。
同理，。
将X换成Xn+1，然后利用下鞅的性质可得下面的定理。
定理1 如果关于是鞅，为一凸函数，且对，则关于是下鞅。
推论1 如果关于是鞅，对，则，关于是下鞅。
由于绝对值函数和平方函数为凸函数，因此可用任意凸函数构造下鞅。
推论2 如果关于是鞅，对，则关于是下鞅。
注意： 函数是关于x的凸函数(convex function)，其中a>0，x≥0．
对任意的非负随机变量X，利用Jensen不等式，于是有
当然，此函数也可用于下鞅的讨论。
定理 对于任意一个关于的下鞅，必存在过程与，使得：
(1)关于是鞅；
(2)是的函数(n≥2)，且；
(3)。
且上述分解是唯一的。