更新时间：2022-09-17 22:12
设 A 和 B 是两个集合，讨论集合中元素的多少问题，如果 A 和 B 都是有限集，则只需分别数出它们的元素个数，再加以比较即可；但是当 A 和 B都是无限集时，无法数出它们的元素个数，此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合基数的概念，最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合，我们称不是可数集的集合为不可数集。
等势
设 A 和 B 为集合，若存在 A 到 B 的双射，则称 A 与 B 等势，即为 。集合A 与 B 等势可以形象地说为“A 和 B 集合中的元素一样多”。
有限集与无限集
可以利用等势概念来定义有限集：设 ，若集合 A 与等势，则称 A 为有限集，否则称为无限集。特别的，空集称为有限集。
（1）自然数集合 N 是无限集。
（2）任何有限集均不能与其真子集等势。
基数
与有限集合中元素的个数的记法一样，集合 A 的基数用 表示。显然，每个有限集都恰与集合等势，其中 ，。若，则令；对于无限集，则用一个特殊记号表示，例如对自然数集合 N ，令ℵ0（读作“阿列夫零”）。
我们希望基数像普通数一样，也具有相等关系和大小顺序。设 A 和 B 为两个集合：
（1）若 A~B，则称 A 的基数和 B 的基数相等，记为 | A |=| B |，否则记为| A l ≠ l B l；
（2）若存在 A 到 B 的单射，则称 A 的基数小于或等于 B 的基数，记为l A I ≤l B l，或者称 B 的基数大于或等于A的基数，记为l B l ≥l A |；
（3）若l A I ≤l B l，且| A l ≠ l B l，则称A的基数小于 B 的基数，记为| A | < | B |，或者称B的基数大于A 的基数，记为l B l > l A |。
由定义，l A I=l B I可形象地理解成，A 中的元素与 B 中的元素一样多。显然，上述定义是有限集合的元素个数有大小的推广。容易验证，集合基数的关系具有自反性和传递性。义由Bernstein（伯恩斯坦）定理知，集合基数的关系还具有反对称性。因此，集合基数的关系是一个偏序关系，进一步还可以证明它是一个全序关系。于是，像实数一样，任何两个基数均可以比较大小，基数也有无限多个，而且无最大者。
关于基数，有如下结论：
（1）设A 和 B 为两个集合，于是l A I ≤l B l，或者l B I ≤l A l。
（2）基数之间的相等关系“=”是一个等价关系。
（3）基数之间的小于或等于关系“≤”是一个偏序关系。
不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系/法则），那么它就是一个不可数集。
设 A 是一个集合，若 A 与自然数集 N 等势，则称 A 为可数无限集；若 A 是有限集，则称 A 为可数集。不是可数集的集合称为不可数集。
实数集R
康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。
证明过程：令，函数 是从 R 到 S 的双射，因此 card(R)=card(S) ，下面证明S是不可数集。
反证法，假设 S 是可数集，则 S 可以表示为 ，其中，设：
其中 。
构造实数 ，其中 。
这样，r 和 S 中的所有实数都不相同，即，产生矛盾，故 S 是不可数集，因此也证明 R 也是不可数集。
无理数集
无理数集也是不可数集。事实上，反设无理数集至多是可数集，因为有理数集是可数集，实数集就是有限个至多可数集的并集，为至多可数集，与已得的结果矛盾。所以无理数集是不可数集。
区间 [0,1]
区间 [0,1] 是不可数集。
证明过程：（反证法）
对，存在 [0,1] 中长度不超过 的闭区间，使；
对 ，存在中长度不超过的闭区间，使；
如此下去，得到一列闭区间，满足：
（1）；
（2） 的长度不超过，且。
因为 ，由数学分析中的闭区间套定理可知，存在唯一一点。显然有 ，由假设应该是 中的某一点，即存在 m 使得。由的取法，，这与 相矛盾，故 [0,1] 是不可数集。