更新时间：2023-03-06 14:03
天体力学中的一个最基本的近似模型引。研究两个可以视为质点的天体在其相互之间的万有引力作用下的动力学问题。二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果，是研究天体精确运动的理论基础，也是天体力学中的一个基本问题，它是迄今为止唯一能彻底求解的天体力学问题，因此它具有很重要的意义。现已证明，在万有引力作用下，二体问题的运动方程是可以严格解出的。
满足下述条件的两个质点的运动问题:①不考虑其他物体的引力； ②它们之间的相互作用力沿两点的连线，力的大小是两点之间距离的函数。二体问题可化为一个等价的单体问题。天体力学中的双星，行星及其卫星、恒星和行星等的运动，物理学中的双原子分子振动都属于或近似地属于二体问题。太阳的质量为太阳系中其他星体质量总和的七百多倍，所以太阳是太阳系的中心天体。每颗行星同太阳近似形成一个二体系统，其他行星对该行星的引力影响仅表现为对它绕太阳运行轨道的微小摄动。因此，天体力学的研究都是以二体问题的解为基础的。
（把直线运动看成是椭圆的退化 用开普勒第三定律，并引入折合质量，即可解决）
T^2=4π^2a^3/GM
把直线看做椭圆的退化，半长轴即为a=距离的1半
碰撞所须的时间为T/2
问题：两个相对静止的物体（可以看成是质点的物理）的距离为r0，质量分别为m1和m2，仅靠引力的作用下相撞所需要的时间。
解答：
以m2相对于m1的方向为正方向，把这两个物体看成一个系统，因为它们不受外力，所以这两个物体在运动过程中动量守恒，在任一时刻，有
m1v1+m2v2=0 (1)
由(1)得
v1=-m2/m1*v2 (2)
由(2)可知在任何时刻，v1和v2的比值相等，因此这两个物体由静止到碰撞的瞬间的位移之比等于v1和v2的比:
s1/s2=v1/v2 (3)
s1+(-s2)=r0 (4)
由(2)(3)(4)解得m1的位移s1:
s1=m2/(m1+m2)*r0 (5)
假设两物理相撞于P点，同理可得任一时刻，m1与P的距离s11与m1m2的距离r满足：
s11=m2/(m2+m1)*r (6)
以两物体相距无限远时他们的引力势能为0，那么相距为r时引力势能为
E=∫(Gm1m2/r^2,+∞,r0)dr=-Gm1m2/r (7)
因此，在任一时刻，m1和m2的动能之和Ek满足：
Ek=-Gm1m2/r0-(-Gm1m2/r)=1/2m1v1^2+1/2m2v2^2 (8)
由(1)(6)(8)解得在任一时刻m1的瞬时速度
v11=(2Gm2^3/(s11(m1+m2)^2)-2Gm2^2/(r0(m1+m2)))^(1/2) (9)
由(5)(9)得，m1到达P点与m2相撞所需要时间为：
t=∫((2Gm2^3/(s11(m1+m2)^2)-2Gm2^2/(r0(m1+m2)))^(-1/2),m2/(m1+m2)*r0)ds (10)
解(10)得
t=(π^2r0^3/(8G(m1+m2)))^(1/2) (11)
------------
---------------
我这里简单说一说怎么解10
把原式子化为(a/x-b)^(-1/2)的形式
令u=(a-bx)^(1/2)
然后令w=(a^.5secytany)
然后积分
积到最后自己算了
提示：lntanarcsec0=π/2*i