更新时间：2022-08-25 14:50
二元二次型（binary quadratic form）是二元二次齐次多项式的一种习惯名称，对固定之整数a，b，c，二次齐次多项式称为二元二次型或简称为型，并以{a,b,c}表示。整数称为此型之判别式。因此，一个二次型可分解为两整系数一次式之积的充分必要条件是其判别式为一平方数。若有整系数变换，，将二次型F变为G(X,Y)，则称F与G相似，或称F经变换而变为G，与正定型相似的二次型亦必为正定型，其中变换矩阵为。
二元二次型理论起源于不定方程与整数的加法表示问题。自希腊的Diophantus（246~330）在《算术》中注意到某些特殊的数，特别是平方数之后，把每个正整数都表示成若干特殊的数之和就成了许多数学家追求的目标。法国数学家PierredeFermat（1601~1665）与瑞士数学家Leonard Euler(1707～1783)先后研究了特殊的二元二次型以及。可以说17、18世纪的数论研究，基本上是凭借数学家的才智和技巧一个一个地解决问题。他们把提出问题和解决问题分割开来，一个问题需要一种特殊的理论和技巧，几乎有多少问题就有多少理论，这种混乱状况久而久之便减弱了人们的研究热情。
18世纪行将结束的时候，数论中那些零碎的散乱局面有了变化。Joseph LoutsLagrange（1736~1813）的二元二次型理论标志着数论研究方法上的一个飞跃，孕育着一种新的时代精神。他考虑了一般的二元二次型理论。他的探索不是仅仅针对个别的型，而是囊括所有型，是一种高度抽象的理论研究，他从一大堆互不关联的结果的丛集中走上了统一理论的道路。Lagrange通过其约化理论，对型进行分类，把对“无穷”的研究化简成对“有限”的研究，从数学思想发展的角度来说，这一点特别有意义。
19世纪Carl Friedrich Gauss（1777~1855）的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）的出版，标志着二元二次型理论的研究进入了一个新的篇章。他在Lagrange的基础上进一步找到了求各种型的约化型的方法，然后根据约化型把所有型分成有限个等价类，进而开辟了一个全新的领域—型的合成理论。此部分是本文的重点与难点，因为其中涉及到一种重要的数学结构—群。现有的一些文献曾讨论过群的起源问题，Lobos Novy从代数学角度详细地分析了群的起源，Hanswussing宏观地从代数、数论、几何三个方面阐述了群的起源。本文在花费大量精力认真研读Gauss原著的基础上，克服重重困难，详尽地分析了群在数论中二元二次型理论中的起源，以期能向读者展示出:早在1801年，Gauss的工作就己经孕育着群的思想。此外，二元二次型理论并不是孤立的一部分，它对当今代数数论的产生以及一般二次型的发展都有着重要影响。
二元二次型理论开辟了两大领域。一是Gauss在研究二元二次型的整数解时，把有理数域和有理整数环上的初等数论问题，放到更大的域和环——二次域和它的（代数）整数环上来研究。他在这方面的工作是研究二次域的开端，也是代数数论的开端。二是除了二次域之外，三次域、四次域乃至一般代数数域与二次型没有关系，同时多元二次型与代数数论也没有关系。这样，二元二次型理论发展成为一般二次型理论。
总之，很长一段时间以来，至少是从Fermat到Minkowski这段时期—二次型理论一直是数论中的一部分。18和19世纪那些伟大的数论学家的大部分著名工作都与二次型的问题有关。在这些工作的基础上，Minkowski, Siegel、Hasse、Eichler和其他一些人创立了二次型的算术理论，这一理论是Bachrnann、 Eichler和O'Meara著名著作的课题。与此平行发展的是Dedekind、Frohenius、E. Noether和Artin发展起来的抽象代数与抽象线性代数的思想，这些思想导致了现代结构数学，它主要强调分类问题与一般结构定理。
在这二者(二次型的数论和现代代数思想)的基础之上，1937年Witt开创了二次型理论的一个新篇章。他最富成果的思想是:他不是只考虑“单个”二次型，而是考虑一个固定的基本域上的全体型的实体，从中构造出一种代数对象。这一对象——Witt环后来成为了整个理论的主要对象。三十年后，Pfiter用他著名的结构定理证明了这一方法的重要性。从那时起，这一领域的每个人都清楚地知道存在着一种漂亮的二次型代数数论，人们只需将其揭示出来。