二叉堆

更新时间:2022-08-25 16:42

二叉堆是一种特殊的堆,二叉堆是完全二元树(二叉树)或者是近似完全二元树(二叉树)。二叉堆有两种:最大堆最小堆。最大堆:父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值;最小堆:父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

存储

二叉堆一般用数组来表示。如果根节点在数组中的位置是1,第n个位置的子节点分别在2n和 2n+1。因此,第1个位置的子节点在2和3,第2个位置的子节点在4和5。以此类推。这种基于1的数组存储方式便于寻找父节点和子节点。

如果存储数组的下标基于0,那么下标为i的节点的子节点是2i+ 1与2i+ 2;其父节点的下标是⌊floor((i− 1) ∕ 2)⌋。函数floor(x)的功能是“向下取整”,或者说“向下舍入”,即取不大于x的最大整数(与“四舍五入”不同,向下取整是直接取按照数轴上最接近要求值的左边值,即不大于要求值的最大的那个值)。比如floor(1.1)、floor(1.9)都返回1。

如下图1的两个堆:

图1 将这两个堆保存在以1开始的数组中:

对于一个很大的堆,这种存储是低效的。因为节点的子节点很可能在另外一个内存页中。B-heap是一种效率更高的存储方式,把每个子树放到同一内存页。

如果用指针链表存储堆,那么需要能访问叶节点的方法。可以对二叉树“穿线”(threading)方式,来依序遍历这些节点。

基本操作

在二叉堆上可以进行插入节点、删除节点、取出值最小的节点、减小节点的值等基本操作。

插入节点

在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点(称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作):比较当前节点与父节点,不满足堆性质则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为 。

删除根节点

删除根节点用于堆排序

对于最大堆,删除根节点就是删除最大值;对于最小堆,是删除最小值。然后,把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点:对于最大堆,父节点如果小于具有最大值的子节点,则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足堆性质为止。

构造二叉堆

一个直观办法是从单节点的二叉堆开始,每次插入一个节点。其时间复杂度为。

最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始,自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法(这是对最大堆而言)使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言,假设高度为h的子树均已完成二叉堆化,那么对于高度为h+1的子树,把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整,最多需要h步完成二叉堆化。可以证明,这个算法的时间复杂度为O(n)。

合并两个二叉堆

最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中,然后构造新的二叉堆。时间复杂度为,其中n、k为两个堆的元素数目。

如果经常需要合并两个堆的操作,那么使用二项式堆更好,其时间复杂度为。

参见

免责声明
隐私政策
用户协议
目录 22
0{{catalogNumber[index]}}. {{item.title}}
{{item.title}}