代数数域

更新时间:2022-08-25 15:49

代数数域是数学中代数数论的基本概念,数域的一类,有时也被简称为数域,指有理数域 ℚ 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 ℚ 上的有限维向量空间

简介

命 为一个 n次代数数,即一个有理系数 n次不可约方程 的根。

易证所有形如 的数,此处 为有理数,所构成的集合,对和、差、积、商(除数非零)是自封的,所以构成一个域,这就是有理数域 添加 所得的单扩张(simple extension),常以 记之。可以证明对于 的任何有限扩张(finite extension) ,其中 都是代数数,均可找到一个代数数 使 。因此,只要考虑 的单扩张即可,称 为一个代数数域。

所满足的不可约方程的次数即定义为 的次数。

举例

最小最基本的代数数域是有理数域ℚ 。因为ℚ 自身是ℚ- 向量空间,维数是1。因此ℚ 是ℚ 自身的域扩张,。高斯有理数ℚ(i)(i为虚数单位)是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子,它是所有形同:的数构成的集合。

可以证明,ℚ(i)是域,而且是ℚ-向量空间,以为基,空间维数是2。所以ℚ(i)是ℚ的二次扩张,。

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数 d ,二次域在ℚ中添加d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似,可以证明是ℚ-向量空间,以为基,空间维数是2,即。

考虑多项式方程 xn=1 的 n 个复根,它们被称做 n 次单位根,具体可以写作:。

在ℚ中添加得到的扩域称为 n 次分圆域,记作。可以证明是有限维ℚ-向量空间,维数为(φ是数论中的欧拉函数),即。

实数域 ℝ 、复数域ℂ和 p 进数域ℚp都不是ℚ的有限扩张,因此都不是代数数域。任何有限域都不是ℚ的扩域,因此也不是代数数域。全体规矩数构成的域 𝑪 和全体代数数构成的域 𝘼 (有时也被简称为代数数域,与本文主题同名,但不是同一个概念)不是ℚ的有限扩张,因此都不是代数数域。

代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根,因此是代数整数。给定代数数域F,F中所有代数整数构成一个,称作F中的(代数)整数环,也称为F-整数环,记作。例如ℚ上的代数整数环就是 ℤ ,因此在代数数域研究中ℤ也被称作“有理整数”(有理数域中的整数),以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环与 ℤ 有不同的代数性质。不一定是唯一分解整环。举例来说,设F=ℚ(−5),F中的整数环是。都是中的“素数”。正整数6,作为中的元素,它的素因数分解有两种方式:

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补,由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是:的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积,即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足,在历史上使代数数论发展起来。

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