(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

置换群是指由置换组成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或n元置换。

有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的著作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专著《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表了关于置换群的重要文章(1815年)。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。可惜他的工作没有及时为数学界所了解。柯西在1844—1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。

置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。

变换群是指一组变换，对变换的乘积构成的群。设G为M上的有限或无限个变换的集合，若满足下面两个条件：①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G；②集合G中每一个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。

例如，平移变换可以构成一个群：平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换;每个平移变换都有逆变换，这个逆变换就是按原变换相反方向的变换，所以仍是平移变换。

用变换群来研究对应的几何学的观点，是由德国数学家克莱茵首先提出来的。1872年，克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何，统一在变换群的观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学.这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，为用近代数学方法研究几何学开辟了道路，因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》.

按照变换群的观点，几何学可以这样分类：研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学.正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学.近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。

仿射空间是通常三维向量空间的推广。是这样的点集合A={P，Q，…}，A中的点与一个n维线性空间V中的向量满足以下的关系：

1.对A中任意有序点对P，Q，存在V中一个向量(称为P，Q的差向量)，记为。

2.对A中任意三个点P，Q，R有：

3.对每个P∈A和每个α∈V，存在Q∈A使：

这时也称A为关于V的n维仿射空间，而称V为差空间。特别地，若取A=V，则上述三条件都是满足的。因此，V按此定义就是一个n维仿射空间。

仿射变换是一种几何变换，若某一变换把共线的点变为同顺序的共线点，并且直线上任意三点A，B，C与它们的像点A′，B′，C′的简单比相等，即，则称这种平面到它自身的变换为仿射变换。若图形M经仿射变换得图形M′，则称图形M仿射等价于图形M′。

例如，在两个平面π和π′，一直线l与π，π′都不平行。在平面π上任取一点A，过点A作直线l的平行线，交平面π′于点A′，则点A′是平面π上的点A在平面π′上的平行投影(图1)。平面π上各点，经过一系列的平行投影后变到π自身(图2)，这就是一个平面π到它自身的一个仿射变换。