更新时间:2023-02-09 20:43
传染病的基本数学模型,研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题,以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等,按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。
一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类:
1、S 类,易感者 (Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染;
2、E 类,暴露者 (Exposed),指接触过感染者,但暂无能力传染给其他人的人,对潜伏期长的传染病适用;
3、I 类,感病者 (Infectious),指染上传染病的人,可以传播给 S 类成员,将其变为 E 类或 I 类成员;
4、R 类,康复者 (Recovered),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限,R 类成员可以重新变为 S 类。
将人群分为 S 类和 I 类,建立如下微分方程:
这里 β 为传染率。在疾病传播期内,所考察地区的总人数 S(t) + I(t) = K 保持不变。利用这一守恒关系得
(1)指数增长率 r 正比于总人数。当传染率 β 一定时,一定染病地区内的总人数 K 越多,传染病爆发的速度越快,说明了隔离的重要性;
(2)在 I = K/2 时,病人数目 I 增加得最快,是医院的门诊量最大的时候,医疗卫生部门要重点关注。
SI 模型只考虑了传染病爆发和传播的过程。SIR模型进一步考虑了病人的康复过程。模型的微分方程为
总人数 S(t) + I(t) + R(t) = 常数N。这里假设病人康复后就获得了永久免疫,因而可以移出系统。对于致死性的传染病,死亡的病人也可以归入 R 类。因此 SIR 模型只有两个独立的动力学变量 I 和 S,它们的相轨迹满足
给定 t = 0 时刻的初条件 S = S0,随着 S 从 S0 开始单调递减,染病人数 I 在 S = γ / β 时达到峰值,随后一直回落,直到减为零。此时剩余一部分易感人群 S∞,而疾病波及到的总人数为 R∞,二者可由总人数守恒和相轨迹方程解出。
如果所研究的传染病为非致死性的,但康复后获得的免疫不能终身保持,则康复者 R 可能再次变为易感者 S。此时有
总人数 S(t) + I(t) + R(t) = N 为常数。参数 α 决定康复者获得免疫的平均保持时间。系统有两个不动点 S = N(I = R = 0)或 S = γ / β(I / R = α / γ)。前者表示疾病从研究地区消除,而后者则是流行状态。消除流行病的参数条件是 γ > βN。若做不到,则要尽量减小 α 而增加 γ,使更多人保持对该疾病的免疫力。
如果所研究的传染病有一定的潜伏期,与病人接触过的健康人并不马上患病,而是成为病原体的携带者,归入 E 类。此时有
仍有守恒关系 S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = 常数,病死者可归入 R 类。潜伏期康复率 γ1 和患者康复率 γ2 一般不同。潜伏期发展为患者的速率为 α。与 SIR 模型相比,SEIR 模型进一步考虑了与患者接触过的人中仅一部分具有传染性的因素,使疾病的传播周期更长。疾病最终的未影响人数 S∞ 和影响人数 R∞ 可通过数值模拟得到。
根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性、疾病的发生及在种群内的传播、发展规律,以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型。通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程、揭示流行规律、预测变化趋势、分析疾病流行的原因和关键。对于 2003 年发生的 SARS 疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势,研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考。有关 SARS 传播动力学研究多数采用的是 SIR 或 SEIR 模型。评价措施效果或拟合实际流行数据时,往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现。石耀霖[2]建立了 SARS 传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了 Monte Carlo 实验。初步结果表明:感染率及其随时间的变化是影响 SARS 传播的最重要因素。蔡全才[3]建立了可定量评价 SARS 干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较好的拟合。
参考文献:
[1]姜启源编辅导课程(九)主讲教师:邓磊
[3]耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377