更新时间：2022-08-26 11:49
伯恩赛德引理（Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。
设 是一个有限群，作用在集合 上。对每个 属于 令 表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作）由如下公式给出：[2]
从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。
定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实：
威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理，将其归于 弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前，这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上，这个引理明显如此有名，伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此，这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 。这可能看起来不那么有歧义，伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。
使用三种颜色对立方体的面染色，旋转后相同的视为一种，染色方式总数可以由这个公式确定。
选取一个定向，设 X 是这个定向立方体所有 36 种可能面染色组合，立方体的旋转群自然作用在 X 上。则 X 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数，可以通过数 G 的 24 个元素的不动集合的大小求出来
一个恒同元素保持 X 的所有 个元素不变。
六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 个元素不变。
三个 180 度面旋转，每一个保持 X 的 个元素不变。
八个 120 度顶点旋转，每一个保持 X 的 个元素不变。
六个 180 度边旋转，每一个保持 X 的 个元素不变。
这样，平均不动集合的大小是
从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地，使用 n 种颜色，立方体不同的旋转面染色数是