更新时间：2023-01-08 17:15
在数学中，特别是在秩序理论中，伽罗瓦对应是两个部分有序集（poset）之间的特定对应。同样的概念也可以在前置集合或类中定义；本文介绍了有序集的常见情况。伽罗瓦对应概括了伽罗瓦理论中研究的子群和子域之间的对应关系（以法国数学家ÉvaristeGalois命名）。
令（A，≤）和（B，≤）是两个部分有序集。 这些有序集之间的单调伽罗瓦对应由两个单调函数组成：F：A→B和G：B→A，使得对于B中的A和b中的所有a，我们有：当且仅当a≤G（b）时，F（a）≤b。
在这种情况下，F称为G的下连接，G称为F的上连接。语法上，上/下术语是指功能应用出现相对于≤的位置术语“伴随”是指单调伽罗瓦对应是类别理论中的一对伴随函子的特殊情况，如下文进一步讨论的。 这里遇到的其他术语对于较低（分别上）的伴随是左邻近（分别右伴）。
伽罗瓦对应的基本属性是，伽罗瓦对应的上/下伴随唯一地确定另一个：
F（a）是最少的元素〜b，因为a≤G（〜b），和G（b）是最大的元素〜a，因为F（a）≤b。
其结果是，如果F或G是可逆的，则每个都是另一个的倒数，即F = G -1。
给定与较低的伴随F和上部伴随G的伽罗瓦连接，我们可以考虑被称为关联闭包算子的组合GF：A→A，称为关联核函数的FG：B→B。 两者都是单调和幂等的，我们对于A中的所有a和b（b）中的所有b都有≤GF（a）。
A到B的伽罗瓦插入是伽罗瓦对应，其中闭包算子GF是A上的。
上述定义在当今的许多应用中是常见的，在晶格和域理论中是突出的。 然而伽罗略理论中的原始概念略有不同。 在这种替换的定义中，伽罗瓦对应是两个有序集 A和B之间的一对反序，即顺序反转的函数F：A→B和G：B→A，使得b≤F（a）当且仅当a≤G（b）。
这个版本中F和G的对称性擦除了上下的区别，这两个函数被称为极性，而不是伴随。因为每个极性唯一地确定另一个：
F（a）是a≤G（b）的最大元素b，
G（b）是b≤F（a）的最大元素a。
GF：A→A和FG：B→B是相关的封闭算子;；它们是单体幂等地图，对于B中的所有b，对于A中的所有a和b≤GFR（b），属性a≤GF（a）。
伽罗瓦对应的两个定义的含义非常相似，因为A和B之间的一个反斜线伽罗瓦对应只是A与B的双Bop之间的单调伽罗瓦对应。所以在伽罗瓦对应上的所有以下语句可以很容易地 转换成关于伽罗瓦对应的声明。
关于伽罗瓦对应的其他有趣的例子在关于完整性的文章中有描述。 粗略地说，事实证明，通常的函数∨和∧是较低的，并且上部与对角线映射X→X×X相邻。部分阶的最小和最大的元素由独特的函数X→{1}。 进一步，甚至完整的格子可以通过存在合适的伴随来表征。 这些考虑给出了伽罗瓦对应在秩序理论中普遍存在的一些印象。
选择一些具有基础集合的数学对象X，例如组，环，向量空间等。对于X的任何子集S，令F（S）是包含S的X的最小子对象，即子组，子环 或由S生成的子空间。对于X的任何子对象U，令G（U）是U的底层集合（我们甚至可以将X作为拓扑空间，令F（S）为S的关闭，并以 “X的子对象”X的闭合子集。）现在，F和G在X的子集和X的子对象之间形成单调的伽罗瓦对应，如果两者都是通过包含的顺序排列的。
威廉·劳威尔的一个非常一般的评论是语法和语义是伴随的：将A作为所有逻辑理论（公理化）的集合，而B是所有数学结构集合的权力集合。 对于理论T∈A，令F（T）是满足公理T的所有结构的集合; 对于一组数学结构S，令G（S）是逼近S的公理化的最小值。然后，当且仅当T逻辑地表示G（S）时，F（T）是S的子集： “语义函子”F和“语法函子”G形成单调的伽罗瓦对应，其语义是较低的伴随。
例子来自伽罗瓦理论：假设L / K是一个字段扩展。 令A是包含K的L的所有子场的集合，由包含，排序。 如果E是这样一个子场，则为保持E固定的L的场自动化组写Gal（L / E）。 令B为Gal（L / K）子集，由包含，排序。 对于这样一个小组G，将Fix（G）定义为由G的所有元素保持固定的L的所有元素组成的字段。然后映射E↦Gal（L / E）和G↦Fix（G）形式 一个反义词伽罗瓦对应。
给定内积空间V，我们可以形成V的任何子空间X的正交补码F（X）。这产生了通过包含排序的V与其本身的子空间集合之间的一个二次伽罗瓦对应；两个极性都等于F。
给定向量空间V和V的子集X，我们可以定义F（X），其由在V上消失的V的双重空间V *的所有元素组成。类似地，给定V *的子集Y，我们定义 其歼灭者G（Y）= {x∈V | φ（x）= 0∀φ∈Y}。 这给出了V的子集与V *的子集之间的一个反斜线伽罗瓦对应。
在下文中，我们考虑（单调伽罗瓦对应f =（f *，f *），其中f *：A→B是上面引入的较低伴随。 一些有帮助和指导性的基本属性可以立即获得。 通过伽罗瓦对应的定义属性，对于A中的所有x，f *（x）≤f*（x）等于x≤f*（f *（x））。通过类似的推理（或仅通过应用 对于秩序理论的二重性原则），对于B中的所有y，我们发现f *（f *（y））≤y。这些属性可以通过说复合函数f * o f *是通缩来描述。
现在考虑x，y∈A，使得x≤y，然后使用上述得到x≤f*（f *（y））。 应用伽罗瓦对应的基本属性，现在可以得出f *（x）≤f *（y）。 但这只是表明f *保留任何两个元素的顺序，即它是单调的。 同样，类似的推理也会产生f *的单调性。 因此，明确地不必将单调性纳入定义。 然而，提到单调性有助于避免对伽罗瓦对应的两个替代概念的混淆。
伽罗瓦对应的另一个基本属性是对于B中的所有x，f *（f *（f *（x）））= f *（x）。显然，我们发现 f∗( f( f∗(x))) ≥ f∗(x)，因为f * o f *是如上所示的通货膨胀。 另一方面，由于f *○f *是通货紧缩，而f *是单调的，所以发现 f∗( f( f∗(x))) ≤ f∗(x)。
此外，我们可以使用这个属性来得出结论 f( f∗( f( f∗(x)))) = f( f∗(x))，和 f∗( f( f∗( f(x)))) = f∗( f(x))，f * o f *和f * o f *是幂等的。当且仅当f是残差映射（相应的残差映射）时，可以显示（见Blyth或Erné），函数f是较低（相应的）上限。 因此，残差映射和单调伽罗瓦连接的概念基本相同。
上述发现可概括如下：对于伽罗瓦对应，复合f * o f *是单调（单调函数的复合），通货膨胀和幂等幂。这说明f * o f *实际上是A上的闭包算子。双重，f * o f *是单调的，通货紧缩的和幂等的。这种映射有时被称为内核操作符。在帧和区域的上下文中，复合f * o f *被称为由f引起的核。核诱导框架同态;如果一个区域的一个子集是由一个核子赋予的，则称为一个子集。
相反地，在某些有序集A上的任何闭合运算符c产生伽罗瓦对应，较低的伴随f *只是对c的图像的c的集中度（即作为对闭合系统c（A）的映射映射））。然后，通过将A（A）包含在A中，将每个关闭元素映射到自身，将其视为A的一个元素，给出上部伴随f *。这样，闭合运算符和Galois连接被认为是密切相关的，每个都指定另一个的实例。类似的结论也适用于内核运算符。
上述考虑还表明，A（元素x与f *（f *（x））= x）的闭合元素被映射到内核运算符f * o * *范围内的元素，反之亦然。