余函数

更新时间:2023-12-24 17:53

余函数(complementary function or cofunction)有两个义项。一个是指三角函数的基本概念之一,设f与g为两个三角函数,α为任意角,β为它的余角。如果f在α所取的值等于g在β所取的值,则称f与g互为余函数。例如正弦余弦正切余切正割余割正矢余矢,分别互相称为余函数。还有一个是指求解齐次线性微分方程时的余函数。

求解方程时的余函数

基本介绍

对于非齐次线性微分方程(L):

考虑令右边为0的齐次线性微分方程(H)

(L)的通解由(H)的通解与(L)的一个特解之和给出。因而把(H)的通解称为(L)的余函数。

n阶齐次常系数线性微分方程的余函数

齐次常系数线性微分方程解法的一个主要特点是,不用积分仅用代数方法就能求出方程的通解,即余函数。

n阶齐次常系数线性微分方程

的特征方程为

同样,该代数方程的根决定了n阶齐次常系数线性微分方程通解的形式。

①具有n个相异的根,则其余函数为

式中,为n个任意常数。

②特征方程有一对单复根,则其余函数为

③特征方程有k重实根m,则其余函数有k项,为

④若特征方程有一对k重复根,则其余函数有2k项,为

在式(2)~式(4)中,和分别为k个任意常数。

总之,解n阶齐次常系数线性微分方程通解可以不用积分,只要求出齐次线性微分方程特征方程n个线性无关的根,则有微分方程的通解式

若线性相关,则不是n阶齐次常系数线性微分方程的通解。

三角函数的余函数

定义

设f与g为两个三角函数,α为任意角,β为它的余角。如果f在α所取的值等于g在β所取的值,则称f与g互为余函数。例如正弦与余弦,正切与余切等。

详细分析

由上面两个公式(一个角的正弦等于它的余角的余弦,一个角的余弦等于它的余角的正弦)可知正弦与余弦互相称为余函数。

由上面两个公式(一个角的正切等于它的余角的余切)可知正切与余切互相称为余函数。

由上面两个公式(一个角的正割等于它的余角的余割)可知正割与余割互相称为余函数。

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