保罗·寇恩

更新时间:2024-08-06 20:07

保罗·寇恩(Paul Joseph Cohen,1934年4月2日---2007年3月23日) 美国数学家,他证明策梅洛-弗兰克尔公理系统加上选择公理 (ZFC) 不能反驳连续统假设 (CH) 的否命题,而 ZF 不能反驳选择公理 (AC) 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起,证明了 CH 和 AC 分别独立于 ZFC 和 ZF。寇恩在证明中创造了力迫法,如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖章

人物生平

保罗·寇恩生于美国新泽西州长滩(Long Branch)的一个犹太家庭,1950年毕业于纽约市的 Stuyvesant 高中。 1950年寇恩入读纽约市立大学布鲁克林学院。不过他了解到申请芝加哥大学的研究生院只需两年大学经历,因此于1953年从布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位,1958年他在 Antoni Zygmund 的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》(Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series)。

1957-1959年,在获得博士学位之前曾先后执教于罗彻斯特大学麻省理工大学

1959-1961年,普林斯顿高等研究院博士后研究员。

1961年,获聘为斯坦福大学数学系助理教授。

1962年,升任斯坦福大学数学系副教授,同年获得 Sloan 基金奖励。

1963年,凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。

1964年,升任斯坦福大学数学系教授。

1966年,获得菲尔兹奖章

1967年,获得美国国家科学奖章

2004年,从斯坦福大学退休,但任教直至2007年春季。

2007年3月23日因病在斯坦福医院去世,享年72岁。

成就与贡献

生前是美国国家科学院和美国艺术科学院(American Academy of Arts and Sciences)的院士。寇恩的博士论文和早期的研究内容是调和分析。1964年寇恩凭借分析学论文《关于李特尔伍德猜想和幂等测度》(On a conjecture of Littlewood and idempotent measures)获得美国数学学会颁发的博修奖(Bôcher Memorial Prize)。1960年代初,寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在 ZF 协调的假设下,他运用力迫法构造了一个 ZFC 的模型 M,M 不满足 CH,因此 ZFC 不能证明 CH。另外,同样在 ZF 协调的假设下,寇恩运用力迫法扩张一个给定的 ZFC 模型 M 得到 M[G],然后取 M[G] 的一个子模型 N,N 满足 ZF、然而不满足 AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起,证明了 CH 独立于 ZFC 而 AC 独立于 ZF,因此 CH 是 ZFC 上的一个不可判定问题。凭借 CH 的独立性证明,寇恩于1966年获得菲尔兹奖章,并于1967年获得美国国家科学奖章。

直至今天,寇恩的菲尔兹奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。 寇恩生前是斯坦福大学的教授,也是一位出色的教师,他指导的博士生彼得·萨纳克(Peter Sarnak)是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国皇家学会会士。

连续统假设

据说在研究连续统假设的过程中,寇恩曾经感到其他数学家认为没有希望解决这个问题,因为当时没有构造集合论模型的新方法。1985年,寇恩接受采访时提到,人们甚至认为考虑这个问题的人多少有点疯狂。寇恩的独立性证明引入了力迫法,如今力迫法成为一项强有力的技术,不计其数的数学家们运用这一方法构造模型,检验给定的假设可否与不同的公理系统协调。

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