保角变换

更新时间:2022-09-19 18:38

取z=ω(ζ),式中ζ=ξ+iη,则在像平面ζ上的每一个点(ξ,η)必在物理平面z上有一个点(x,y)与之对应。假设S为ζ平面上的一条曲线,若令某点沿S移动,则对应点z在z平面上划出一条曲线S'。如果ω(ζ)是解析的,且ω'(ζ)≠0,则在ζ平面上原来夹角为α的两条曲线S1和S2,经过上述变换,在z平面上划出的两条曲线S1'和S2'的夹角仍为α,则变换z=ω(ζ)称为保角变换。

基本知识

当变换为单值函数时,对于Z平面上的一个点,在W平面就有一点叫与之对应;对于Z平面上的一条曲线C,W平面就有一条曲线C'与之对应;同样,在Z平面上的一个图形D,也在W平面就有一个图形D'与之对应,这种对应关系称为映射,或称为.如图1所示。在这种变换中,尽管图形的形状要发生变化,但是相应的两条曲线之间的夹角却保持不变,所以该变换也叫做保角变换。

为了证明保角性,设Z平面的点,沿曲线有一个增量,沿曲线有一个增量;相应的W平面的点,沿曲线有一个增量,沿曲线有一个增量,于是

当不等于零时,它们之间的辐角关系为

以上两式相减,得

这样就证明了保角性。在变换前后,图形的形状要产生旋转和伸缩,但是两条曲线之间的夹角保持不变。使用保角变换法求解静态场问题的关键是选择适当的变换函数,将Z平面上比较复杂的边界变换成W平面上较易求解的边界。

注意事项

使用保角变换应注意以下几点。

(1)如果变换以前势函数满足拉普拉斯方程,则在变换以后势函数也满足拉普拉斯方程。如果变换以前势函数满足泊松方程,即

则在变换以后,势函数满足以下泊松方程:

式中,。这表明,二维平面场的电荷密度经过变换以后要发生变化,但是电荷总量不变,其理由是

所以

(2) 在变换前后,Z平面和W平面对应的电场强度要发生变化,它们之间的关系为

这是因为,从Z平面变换到W平面时,线元的长度要伸长倍,相应的电场强度要减小倍。

(3) 变换前后,两导体之间的电容量不变。这里的电容是指单位长度的电容。因为变换前后两个导体之间的电位差不变,两导体面上的电场和电荷密度发生了变化,但是,导体上的电荷总量不变。如取为Z平面上导体表面,为变换以后W平面上的导体表面,则沿轴线方向单位长度的上的总电荷为

则沿轴线方向单位长度的上的总电荷为

因为

所以有

可以使用这个性质方便地计算两个导体之间的电容量。

例题解析

例1 设无限长同轴线的内导体半径为,电位为;外导体内半径为b,电位为零。内、外导体间充满介电常数为的均匀介质。试计算同轴线的电位分布及单位长度的分布电容。

解:应用对数形式的复变函数计算电位分布。因为是二维平面场,在Z平面上导体边界形状是圆,所以选择u为等位线。

设,令

由边界条件确定常数A和,即

于是

令,得

因此,Z平面上u是以轴心为圆心、以为半径的一簇同心圆。

Z平面上内、外导体间的介质区域,通过保角变换变为W平面上一长方形区域。在W平面上计算单位长度电容,只需求出距离为、宽度为的平板电容器的单位长度电容,所以计算要简单得多。

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