灵活性是指系统能够适应变化（如技术升级、用户需求变更或环境变化）的能力。适应性则进一步指出系统对于这些变化的响应能力，即能够在新条件下调整自身配置或行为以保持效能。

在学术讨论中，经常探讨灵敏度与鲁棒性之间的关系，并且有时将不敏感性视为鲁棒性的代名词。然而，在追求方案的最优化过程中，基于特定假设，这增加了系统对这些基本假设的敏感性。如果这些前提假设因环境变化而失效或错误，系统就可能变得高度敏感和脆弱。尽管敏感性的分析能够揭示系统对输入不确定性的反应性，但这并不等同于鲁棒性。因为与鲁棒性不同，敏感性分析不考虑系统的内部结构和适应能力，并且不提供控制敏感性的方法。鲁棒性涉及更广泛的维度，包括系统在结构、组织、属性、功能或身份方面的保持能力，这些是评估鲁棒性时的重要特征。

鲁棒性即稳健性，外延和内涵不一样；稳定性只做本身特性的描述。鲁棒性指一个具体的控制器，如果对一个模型族中的每个对象都能保证反馈系统内稳定，那么就称其为鲁棒稳定的。稳定性指的是系统在某个稳定状态下受到较小的扰动后仍能回到原状态或另一个稳定状态。与稳定性不同，鲁棒性关注的系统特征难以参数化，其干扰可能在系统架构或通过历史或设计内置于系统中的假设上引起重大变化，或者其系统行为通过与强大的组织架构相耦合的适应性动态产生。这也意味着，在讨论鲁棒性时，关注的是干扰发生的系统层面，例如结构或功能层面，而在稳定性的背景中，这不重要，因为结构对稳定性没有特定的意义。

鲁棒性和恢复力经常被视为等同或相似的概念。这两个概念的历史及其发展过程特别重要。恢复力通常用于生态系统发展及其可持续利用的背景中，如果关注的是“部分设计的系统而非严格演化的系统”，则使用鲁棒性这一术语。

鲁棒性和复杂性是两个相互联系但又有所区别的概念。鲁棒性指的是系统在面对环境变化和干扰时，能够维持其核心功能和结构的能力。复杂性则描述的是系统内部元素多样、相互作用复杂和组织结构复杂的特性。

两者的联系在于，复杂性通常为鲁棒性提供基础。复杂系统，如生态系统或社会网络，因其内部的多样性和多元化的反馈机制，能够在面临变化或压力时展现出高度的鲁棒性。这些系统的多样性和冗余性使其能够适应环境的变化，通过结构上的相似性和功能的可替代性来保持整体的稳定性和功能性。

然而，鲁棒性和复杂性的关系并非简单的正比关系。过度的复杂性有时也可能导致系统的脆弱性，因为过多的相互依赖和反馈循环可能使系统在面对特定类型的干扰时变得更加敏感和脆弱。因此，鲁棒性涉及到在保持系统功能和适应性的同时，平衡内部复杂性和外部干扰的能力。

冗余性：冗余是鲁棒性设计的核心原则之一，通过添加备用组件或系统来增强容错能力。例如，在网络设计中，可以通过建立多条数据路径来避免单点故障。

分散与多样性：分散系统的资源和功能可以降低全局故障的风险。多样性，比如使用不同的技术或方法，可以减少特定漏洞或故障模式影响整个系统的可能性。

简洁性： 简单的设计减少了错误发生的机会，并使系统更易于理解和维护。简洁性原则鼓励去除不必要的复杂性，专注于核心功能。

模块化： 通过模块化设计，将系统分解为独立的、可互换的模块，每个模块执行特定的功能。这样的设计易于测试、维护和升级。

可监控性与自修复：设计系统时要考虑其监控能力，确保可以实时检测和响应问题。自修复机制允许系统在发现问题时自动采取措施，无需人工干预。

在通过使产品性能达到目标值并减少它们的偏差来优化设计时，鲁棒设计技术既采用传统的思想，又采用新的思想。以下是这些思想的一部分：

损失函数：损失函数是一个二次式，用来估算均值相对于目标值及产品性能的偏差所带来的成本，这种成本是依据用户认为的产品缺陷，引起的经济损失得来的。传统的方法仅在产品性能超出用户规格要求时，才计算这种损失。鲁棒设计方法在产品性能分布(均值附近的分布)的基础上估算这种损失。

正交阵列：正交阵列有几个独特的性质。它们可以在几个范围内作用，但最通常的是在两或三个范围内。它们最重要的一个属性是平衡性：当一列中范围是常数，其它列中的所有其它范围将通过它们的值旋转得到。通过运用阵列的这种平衡性，能有效地确定各因素的影响。

信噪比：信噪比是鲁棒设计实验输出性能偏差的衡量。信噪比(S/N)的目的是把输出性能的重复性表示成一个数。然后可对这个数进行相似的处理，如粘合强度例子中，为提高均值而进行的分析一样。

进行鲁棒设计实验牵涉到前面提到过的许多质量工程工具的使用。这项工作的成功依赖于小组成员的正确选择、着重对适当的性能进行优化与检测，并且遵循方法学准则。成功进行鲁棒设计实验的步骤如下。

问题定义：进行鲁棒设计实验的第一步是勾画出实验的目标，并定义要进行优化的工艺或设计性能。然而每次只能优化一种性能，在进行实验时能测定许多性能，然后分别进行分析。最后的参数选取是各种推荐参数的混合，取决于对每个目标性能水平不同目标的折重考虑。产生要优化的产品或设计的界限是很重要的。实验应限制在设计的一个小范围内。换句话说，实验不应试图对产品或工艺的所有步骤进行优化。

小组的创立与平稳：应挑选一个项目小组来进行实验和分析。小组应该由具有产品和工艺知识的人员组成，并征求与优化设计有关的所有人员的意见。他们没有必要对与问题有关的学科有深入的技术上的了解，但小组成员应该有进行类似设计的经验。小组应该能通过统计员或曾受过鲁棒设计训练的人员获得统计方法知识和特殊的鲁棒设计技术。

参数选取：鲁棒设计方法不包括缩小优化设计的选取参数集的筛选实验。但是，小组成员可能把这个方案当作试验较多的参数或相同参数的不同水平与组合的机会。这种情况下，可能要进行筛选实验以缩小参数的选取。

一个控制系统是否具有鲁棒性，是它能否真正实际应用的关键。鲁棒性包括稳定鲁棒性和品质鲁棒性。因此，现代控制系统的设计已将鲁棒性作为一种最重要的设计指标。

为了解决控制系统的鲁棒性问题，近年来主要出现了两个主攻方向：一个是主动式(active)适应技术，即通常称的自适应控制系统设计技术。它应用辨识方法不断了解系统的不确定性，并在此基础上调整控制器的结构与参数，从而使系统满足性能指标要求另一种是被动式(passive)适应技术，即一般称的鲁棒控制设计技术。对具有不确定性的系统设计一个控制器，使系统在不确定性范围内工作时，满足系统的设计性能指标要求。

控制系统的鲁棒性是指系统在不确定性的扰动下，具有保持某种性能不变的能力。如果对象的不确定性可用一个集合描述，考察控制系统的某些性能指标，如稳定性品质指标等，设计一个控制器，如果该控制器对对象集合中的每个对象都能满足给定的性能指标，则称该控制器对此性能指标(特性)是鲁棒的。因此，在谈到鲁棒性时，必须要求有一个控制器，有一个对象集合和某些系统性能对控制系统来说，两个重要的鲁棒概念是：

稳定鲁棒性：一个控制器如果对集合P中的每一个对象都能保证系统稳定则是鲁棒稳定的。

品质鲁棒性：一个控制器如果对集合P中的每一个对象都能保证系统稳定和一种特定品质则认为是品质鲁棒的。

鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。鲁棒性一般定义为在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能保证。

鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般假设过程动态特性的信息和它的变化范围。一些算法不需要精确的过程模型但需要一些离线辨识。一般鲁棒控制系统的设计是以一些最差的情况为基础，因此一般系统并不工作在最优状态。

鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用，同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估。飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子。过程控制应用中，某些控制系统也可以用鲁棒控制方法设计，特别是对那些比较关键且（1）不确定因素变化范围大；（2）稳定裕度小的对象。

但是，鲁棒控制系统的设计要由高级专家完成。一旦设计成功，就不需太多的人工干预。另一方面，如果要升级或作重大调整，系统就要重新设计。通常，系统的分析方法和控制器的设计大多是基于数学模型而建立的，而且，各类方法已经趋于成熟和完善。然而，系统总是存在这样或那样的不确定性。在系统建模时，有时只考虑了工作点附近的情况，造成了数学模型的人为简化；另一方面，执行部件与控制元件存在制造容差，系统运行过程也存在老化、磨损以及环境和运行条件恶化等现象，使得大多数系统存在结构或者参数的不确定性。这样，用精确数学模型对系统的分析结果或设计出来的控制器常常不满足工程要求。近些年来，人们展开了对不确定系统鲁棒控制问题的研究，并取得了一系列研究成果。Hoo鲁棒控制理论和μ分析理论则是当前控制工程中最活跃的研究领域之一。作者通过系统地研究线性不确定系统、时间滞后系统、区间系统、离散时间系统的鲁棒稳定性问题，提出了有关系统鲁棒稳定性的分析和设计方法。

鲁棒控制系统的设计有多种方法，包括根轨迹法、频率响应法和ITAE。鲁棒控制系统设计要完成的两个基本任务是确定控制器结构和调节控制器参数，以获得“最优”系统性能在鲁棒控制系统的设计过程中，通常以假定对受控对象有全面了解为前提的，并且通常是以线性时不变连续模型来描述受控对象。控制器结构的选择一般总是以使系统响应能够满足某种性能判据为出发点。

在很多场合，控制系统的理想设计目标是，系统能精确并及时地重现输入。相应地，系统的Bode图应该非常平整，即具有无限带宽的0dB增益并且相角始终为0。但是由于任何系统都包含有储存能量的电感型或电容型部件，因此，实际中并不存在这样的理想系统。这些储能元件以及它们与耗能部件的联系，决定了系统的动态特性。这样的系统可以相当精确地重现某些输入，但对另外一些输入却完全不能重现，即实际系统的带宽总是有限的。

对于网络安全领域的鲁棒性来说，最重要的衡量指标是对随机错误和恶意攻击的容忍程度，是指计算机系统、算法或软件在面对错误条件或意外情况时仍能保持其功能和性能的能力。这个概念在计算机科学和工程领域中非常重要，因为它涉及到系统在遭遇硬件故障、软件缺陷、人为操作失误或其他异常情况时的稳定性和可靠性。

容错性：系统能够处理硬件或软件的故障，而不会完全失败。这通常通过冗余组件、错误检测和修正机制来实现。

可恢复性：在发生故障后，系统能够快速恢复到正常状态。备份和灾难恢复计划是提高可恢复性的常见方法。

灵活性：系统能够适应变化的环境或需求，包括硬件升级、软件更新或配置变化。

可伸缩性：系统在负载增加时仍能维持性能，这涉及到系统的设计和架构是否能够处理大量数据和操作。

多层防护：在软件和硬件各层实施安全措施，确保系统的整体安全性。

模块化设计：将系统分解为独立的模块，每个模块负责特定的功能，这样一个模块的失败不会导致整个系统崩溃。

冗余：通过增加额外的硬件或软件组件来备份关键操作，确保系统的持续运行。

定期测试和维护：定期进行压力测试、性能测试和安全测试，以发现并修复潜在的问题。

错误处理：实现有效的错误处理机制，当检测到问题时能够自动采取措施减少损害。

鲁棒性在人工智能领域的应用不仅广泛，而且具有重要意义，尤其是为了确保AI系统在面对不确定性和潜在干扰时的可靠性和有效性。以下是一些具体丰富的应用场景。

对抗性学习中的鲁棒性：对抗性示例是故意设计的输入，能够欺骗AI模型做出错误的判断。在深度学习中，研究人员开发对抗性训练技术，如通过在训练过程中引入对抗性示例来训练模型，增强模型对这些攻击的鲁棒性。这样的训练方法能够提高模型识别和抵抗恶意输入的能力。

自然语言处理中的鲁棒性：在NLP中，鲁棒性表现为模型能够处理多种语言、方言或社交媒体中的非标准语言。例如，一个鲁棒的NLP模型应能理解和处理英语、中文、俚语以及网络用语的混合体，即便这些文本远离训练时使用的标准语料库。NLP系统的鲁棒性也体现为对输入文本中噪声的容忍性上，如拼写错误、语法错误或打字错误。鲁棒的模型能从这些含噪声的文本中准确提取信息，并执行任务如情感分析、实体识别或机器翻译。

计算机视觉中的鲁棒性：计算机视觉系统需要在不同的光照、视角和背景条件下稳定工作。例如，一个鲁棒的面部识别系统应能在各种光线条件下识别同一个人的脸，无论他们是在室内还是室外，或是在不同的时间段。视觉系统的鲁棒性也体现为处理不同分辨率和质量的图像上。即便面对低分辨率或高度压缩的图像，鲁棒的图像处理算法也能有效识别和分析图像内容。

强化学习的鲁棒性：强化学习中的鲁棒性体现为算法能够适应环境的不确定性和变化。例如，在自动驾驶汽车的强化学习模型中，鲁棒性意味着即使在交通条件、天气变化或路况未知的情况下，模型也能稳定控制车辆。强化学习策略的鲁棒性还包括其在不同任务或环境中的泛化能力。一个鲁棒的策略应能从一个任务中学到的经验转移到另一个任务，即使这两个任务在表面上有所不同。

鲁棒性指系统在扰动或不确定的情况下仍能保持它们的特征行为。根据所涉及的扰动，可分为突变鲁棒性、环境鲁棒性。突变鲁棒性是指在突变时生物体的表型仍保持不变的能力；环境鲁棒性是指在环境改变时，生物体对于环境的适应能力。

在生理学系统中，一个最重要的例子是免疫系统，它的亿万个自治主体（细胞）鲁棒地并且十分顺利地处理侵入的病原体，不管病原体如何不断地突变（这些突变使它们逃避免疫的攻击）。系统（例如免疫系统）拥有许多重叠和相矛盾的目标。许多传感器能够检查这些目标的发展和系统状态的一般方面。在一个分布式反馈里感官输入被用来调节系统性能以至于在某种意义上改进目标性能。

稳健性在社会科学领域，诸如经济学、金融学、管理以及会计学科的研究中，多叫做稳健型检定，通常作为数据研究测试（empirical analysis）中的一项手段，从而检测是否原测试在其他条件或者假设之下依旧能够成立。随着计量经济学（econometrics）的发展，稳健型检定已经成为科学研究领域一项必要的手段来保证科学研究的严谨性。

资本主义在资产市场上的历史一直充满了波动，一些波动非常剧烈，同时也确实是代价高的，最显著的是1929年到1940年的大萧条．然而长期看来，发达国家的资本主义已经表现出了一种鲁棒性。经历过每一次冲击后，不论如上所述国内的，还是国外的，由于战争或者是革命，系统都恢复过来了。第二次世界大战之后的时期，经济成长最空前的比率替换了大萧条和战争。最显著的是，日本和德国从令人难以置信的破坏中迅速恢复。然而，不仅仅是恢复，他们也进行适应并且改变。他们特有的制度部分保留下来了，部分被改变了。具体而言，其应用如下：

经济模型的鲁棒性：强化学习中的鲁棒性体现为算法能够适应环境的不确定性和变化。例如，在自动驾驶汽车的强化学习模型中，鲁棒性意味着即使在交通条件、天气变化或路况未知的情况下，模型也能稳定控制车辆。强化学习策略的鲁棒性还包括其在不同任务或环境中的泛化能力。一个鲁棒的策略应能从一个任务中学到的经验转移到另一个任务，即使这两个任务在表面上有所不同。

金融市场模型的鲁棒性：在金融市场分析中，鲁棒性模型用于评估和管理市场风险，确保模型在不同市场条件和数据不确定性下仍然有效。鲁棒性分析帮助金融机构评估在极端市场条件下资产组合的表现，从而优化投资策略和风险管理。

风险管理的鲁棒性：金融机构通过构建鲁棒的风险管理模型来识别、评估和缓解各种财务风险。这包括使用鲁棒的统计方法来预测信贷风险、市场风险和操作风险，确保在不同情况下的财务稳定性。

投资组合的鲁棒性优化：在资产管理中，鲁棒性优化帮助确定在各种市场情况下都能表现稳定的投资组合。通过考虑不确定性和可能的未来市场变动，鲁棒性投资组合策略旨在提供最佳的风险调整后回报。

统计学中的鲁棒性：在统计学中，回归分析用于模型化和分析变量之间的关系。传统的线性回归对异常值非常敏感，可能导致模型估计不准确。鲁棒回归方法，如Huber回归或量化回归，通过降低异常值的权重来减少其影响，从而提供更稳定的模型估计。在构建统计模型时，鲁棒性方法可以帮助处理样本中的异常值或偏差，确保统计推断的准确性。例如，使用稳健的标准差和均值计算，可以更准确地描述数据集的中心趋势和变异性。

优化问题中的鲁棒性：在经济学、工程和运筹学等领域中，鲁棒优化用于处理决策问题，其中模型参数存在不确定性。例如，在投资组合优化中，鲁棒性方法可以帮助构建对市场波动不敏感的投资组合，从而降低风险。在自动控制系统中，鲁棒控制设计旨在确保系统即使在面对未知扰动和模型不精确性时也能保持稳定和高效。这种方法通常涉及到为控制系统设计反馈机制，以自动调整其性能。

数学建模和算法中的鲁棒性：在机器学习中，鲁棒性算法能够有效处理数据中的噪声和异常值。例如，鲁棒的分类器设计可以减少异常数据点对模型训练的影响，提高模型在面对未知数据时的泛化能力。在进行数学建模时，考虑模型输入的不确定性非常重要。鲁棒性分析方法，如蒙特卡洛模拟，可以用来评估输入不确定性对模型输出的影响，帮助决策者理解潜在风险和做出更可靠的决策。