更新时间：2024-06-27 14:54
克利福德代数（Clifford algebra），又称几何代数（Geometric algebra），综合了内积和外积两种运算，是复数代数、四元数代数和外代数的推广，在几何和物理中有应用广泛。
设V是特征不为2的域K上的线性空间，Q是V上的一个二次型，T(V)是V上的张量代数。若I是T(V)中下列形式的元素生成的理想：
则商代数Cl(V,Q)=T(V)/I称为关于二次型Q的一个克利福德代数。
若f是V到一个K上代数A的代数同态，使得
f(v)2=-Q(v)1，v∈V，
则存在C(V,Q)到A惟一的代数同态g使得如图交换。
当dim V=n时，dim C(V，Q)=2。当Q=0时，C(V，Q)即为V上的外代数。因此，克利福德代数是外代数的推广。实数域上的复数全体，四元数全体都构成克利福德代数。
其元素为u-=u+KQ，u∈T(V)。由于T(V)是由V生成的，所以V到C(V，Q)的自然映射i：x→x-=x+KQ，x∈V，使得i(V)就生成Cl(V,Q).事实上，若：
dim V=n，
且u1，u2，…，un为V的基，则u-i1，u-i2，…u-ir(i1
dim Cl(V,Q)≤n2.
特别地，若n=2且B(x,y)是非退化的，则C(V,Q)是四元数代数。
设V的自同态α，满足α(v)=-v，可扩张到Cl(V,Q)。由于α2=id，可定义分次代数Cl(V,Q)=Cl0(V,Q)⊕Cl1(V,Q)，使得两个子空间分别为α的本征空间。
Cl(V)的乘法单位群为Cl×(V)。由V中满足的v生成的Cl×(V)的子群为Pin(V)。Pin(V)与Cl0(V)的交为自旋群Spin(V)。
Pin(V)包含了Cl(V)作为线性空间的基，故Cl(V)为包含Pin(V)的最小R代数。
外代数亦称格拉斯曼代数。各阶反变张量空间的并构成的代数。用Λ(V)记形式和：
则Λ(V)是维向量空间。设：
其中。ξ与η的外积是：
则Λ(V)关于外积成为一个代数，称为向量空间V的外代数或格拉斯曼代数。
向量空间Λ(V)的基底是{1，ei，ei1∧ei2，…，e1∧…∧en}(1≤i≤n，1≤i1 同样，人们也有对偶空间V*的外代数： 的元素称为向量空间上的r次外形式，它是V上反对称r重线性函数。 英国数学家。生于埃克塞特(Exeter)，卒于马德拉(M-adeira)1860年在伦敦国王学院就学，三年后入剑桥三一学院。1867年荣获史密斯数学奖。第二年当选为该校应用数学教授。1874年成为皇家学会会员。克利福德在数学和物理学中的影响都很大。他将黎曼等人的非欧几何引入英国，并在有关四次方程、轨迹分类、黎曼曲面的拓扑结构等方面有独到见解，还创设了一种具有特殊性质的二阶曲面来研究曲面的几何结构，被称为“克利福德曲面”。这些成果对克莱因等人的工作有所帮助，也为相对论的建立提供了理论依据。在代数方面，克利福德继哈密顿的四元数之后，引入了新的超复数——八元数(biquaternion)，并推广为更一般的“克利福德代数”。 克利福德代数（Clifford algebra）的主要贡献者有：Hamilton（四元数），Grassmann（外代数），Clifford，Hestenes等等。 Hestenes是克利福德代数的发扬光大者，Hestenes的主要著作有： 《Space-time algebra》（克利福德代数被引入到狭义相对论中）。 《Clifford Algebra to Geometric Calculus》（克利福德代数结合了微积分，成为更强大的数学工具） 《New Foundations for Classical Mechanics》（经典物理学用克利福德代数重新书写） 还有一些将Clifford algebra应用于其他领域如广义相对论、量子力学、量子场论、射影几何、微分几何、共形几何等中的著作。