对于 也类似地有18个独立的分量。

(1) 由式①，有

改变哑标，有

因为 是对称张量，将以上两式相加，得

⑤

(2) 因为

对微分，得

内乘以 ，有

将式⑤和式②代入上式得

⑥

⑦

⑧

式⑦与式⑧给出了两种克里斯托费尔符号的变换律，符号上方的横线表示它是在坐标系 里对于基本张量 计算的。变换关系表明两种克里斯托费尔符号都不是张量。可是在坐标的线性变换中，在 这种十分特殊的情况下，这两种符号的变换律就像张量的变换律一样。

将式⑧两边内乘以 ，得

⑨

这是用 对 的一阶偏导数和第二种克里斯托费尔符号表示二阶偏导数的一个重要方程，常用到这个关系。