全微分

更新时间:2024-06-14 14:51

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量

全增量

为了引进全微分的定义,先来介绍全增量。

设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义,当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx,Δy时函数取得的增量。

称为 f (x, y)在点(x,y)的全增量

定义

如果函数z = f (x, y)在点(x,y)的全增量 可表示为

其中A 、B仅与x、y 有关,而不依赖于Δx 、Δy, ,则称函数z = f (x, y)在点(x,y)处可微分, AΔx+BΔy称为函数z = f (x, y)在点(x,y)处的全微分。记作dz,即。

函数若在某平面区域D内处处可微时,则称这个函数是D内的可微函数,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。

定理

定理1

如果函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)处可微,则z=f(x,y)在p0(x0,y0)处连续,且各个偏导数存在,并且有f′x(x0,y0)=A,f′y(x0,y0)=B。

定理2

若函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)处的偏导数f′x,f′y连续,则函数f在点p0处可微。

定理3

若函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数必存在,且函数z = f (x, y)在点(x,y)的全微分为:

判别可微方法

1.若f (x,y)在点(x0, y0)不连续,或偏导不存在,则必不可微;

2.若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微;

3.检查是否为的高阶无穷小,若是则可微,否则不可微。

极限、连续、可导、可微的关系

这几个概念之间的关系可以用图1表示:

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