更新时间:2024-07-05 23:29
全纯映射(holomorphic map)是复流形上的一种有解析性的映射。
全纯映射是复流形之间的解析映射。设M,N分别是复m,n维复流形,f:M→N是连续映射。若对每一点p∈M,存在一个邻域U,使得f在U内可用局部坐标函数表示成:
其中ω都是全纯函数,则称f是全纯映射。
映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系,G的定义域D(G)为X,且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x,y),则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时,应满足下列两个条件:
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y,通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足:
1) f(x)∈Y.
2) G(x,f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y,G(x,z)→z=f(x).
关系G常使用另一些记号:f:X→Y或XY。f与G的关系是y=f(x)(x∈X),当且仅当G(x,y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域,记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域,记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时,y称为x的象,而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX,所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。对于BY,所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然:f(A)=f(x),f(B)=f(y)。
流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间,在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系,使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844,1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论,把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念:n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的,从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间,其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形),从而开辟了组合拓扑学的道路。
对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题,微分结构与组合结构的关系,流形的各种意义下的分类等问题,20世纪50—60年代做出许多重要结果,近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题,其研究仍在继续。
复流形是无支点黎曼曲面的推广。设M为具有可数基的仿紧拓扑空间,且在M上有开覆盖{Uα},使得对每个开集Uα,存在Uα到C中的域上的同胚映射φα,于是Uα中任给一点p,则:
称为点p关于区图(Uα,φα)之坐标。设对M中任一点q,若存在Uα,Uβ使得q∈Uα∩Uβ.记q关于(Uα,φα)之坐标为(x1,x2,…,xn),关于(Uβ,φβ)之坐标为(y1,y2,…,yn),则:
为φα(Uα∩Uβ)到φβ(Uα∩Uβ)上的全纯同构,这时M称为n维复流形。n维复流形为2n维实解析流形,反之不一定。
复流形和实流形概念的引进扩大了微分几何和实分析的对象,产生了像大范围分析那样的学科一样,复流形概念的引进,扩大了复分析的研究领域和产生像复几何那样的学科,其中紧复流形的研究成果较多。最简单的紧复流形为紧黎曼面及n维复射影空间Pn。
亦称解析函数或正则函数,是解析函数论的主要研究对象。对于定义于复平面上区域D内的复变量z的单值函数f(z),如果它在D内的每个点z0的一个邻域内都可以用z-z0的幂级数表示,则称f(z)在D内解析。外尔斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))从幂级数出发,建立了解析函数的级数理论。如果在D内的每个点z处,极限:
(称为函数f(z)在z点的导数)都存在,柯西(Cauchy,A.-L.)称f(z)在D内是解析的。这两个定义是等价的。函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy在D内解析的另一个等价条件是:u=u(x,y),v=v(x,y)在D内的每一个点z=x+iy处存在连续偏导数,并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件):
这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件。函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理。