更新时间：2022-09-23 18:52
设V，W都是Ω上的有限维内积空间。若σ是V到W的一个线性映射，则恰有W到V的一个线性映射σ*与之对应，叫作σ的共轭映射，使对任意v∈V，w∈W，有σ(v)w=vσ*(w)。
设V，W都是Ω上的有限维内积空间。若σ是V到W的一个线性映射，则恰有W到V的一个线性映射σ*与之对应，叫作σ的共轭映射，使对任意 ，有
设 是V的一个标准正交基底，对任意 ，定义
易验证σ*是W到V的一个线性映射，对任意 ，又因 ，于是有
设 ，若对任意都有 ，则 。于是，若 对任意 都有 ，则 。对称地，设 ，若对任意 都有 ，则 ；若对任意 都有 ，则 。则由此可说明σ*的唯一性。
证明完毕。
显然有 ，从而可以说σ与σ*互为共轭映射。
设 与 分为Ω上内积空间V与W的标准正交基底，则当
时有 其中A*为矩阵A的共轭转置矩阵，即 。
记 而σ*在 与 下对应的 ，于是有
从而有
于是有 ，证明完毕。
1.设σ是Ω上有限维内积空间V的线性变换，如果 ，则说σ是规范的，如果 ，则说σ是自共轭的，而当Ω为实数域时说σ是对称的，当Ω为复数域时说σ是Hermite的，如果σ可逆且 ，则当Ω为实数域时说σ是正交变换，而当Ω为复数域时说σ是U变换。
系设 是Ω上内积空间y的一个标准正交基底，σ是V的一个线性变换，
，
则：
（1）σ为规范的充分必要条件是 ，此时称矩阵A是规范的。
（2）σ为对称（Hermite）的充分必要条件是 ，当Ω为复数域时称A为Hermite的。
（3）σ为正交（U）的充分必要条件是 。
2.设A为一规范矩阵，其第r行元素除对角线元素外都为零，则第r列元素也是这样。
3.设σ为n维内积空间v的一个线性变换，则下列条件等价：
（1）σ是正交（U）变换；
（2）σ在V的任意标准正交基底下对应正交(U)矩阵；
（3）σ把V的每个标准正交基底都变成标准正交基底；
（4）σ不变向量的长度；
（5）σ不变向量的内积。
设F是一个域，Ω是F的一个代数闭包。K是扩张Ω/F的一个中间域。K到Ω内的一个，F-同态单射叫做K到Ω内的一个F-共轭映射，简称为F-共轭。设是一个F-共轭。那么σ(K)也是Ω/F的一个中间域，并且σ(K)与K是F-共轭的。
令A是K到Ω内的一切F-共轭所成的集。我们把A的基数（K的F-共轭的个数）记作。
不依赖于代数闭包Ω的选取。事实上，设Ω和Ω’都是F的代数闭包并且都包含K。那么存在F-同构映射。令A和A’分别是K到Ω内的F-共轭和K到Ω’内的F-共轭所成的集。对于任意，则 。反过来，对于任意，则 。因此，
是A到A’的双射，从而。因此，对于代数扩张K/F来说，我们任意取定F的一个包含K的代数闭包Ω，而把K到Ω内的F-共轭的个数记作。