更新时间：2024-10-05 09:38
内接三角形（inscribed triangle）是一种几何图形。如果圆内接三角形
三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形，而这个圆周叫做该三角形的外接圆。任何一个三角形都有且仅有一个外接圆，外接圆的中心是三角形三边中垂线的交点；如果三角形是锐角三角形时，那么外接圆的中心在三角形的内部，如果是钝角三角形时，那么外接圆的中心则在三角形的外部，在直角三角形时，外接圆的中心则是斜边的中点。
三角形外接圆的半径计算公式为：
其中 是三角形的边； 是半周长， 是三角形的面积； 分别是三角形的边 所对的内角。
外切三角形：三边都与一个圆相切的三角形叫做这个圆的外切三角形，而这个圆叫做该三角形的内切圆。在任何一个三角形里，都能作且只能作一个内切圆，内切圆的中心O是三角形的内角平分线的交点。三角形内切圆的半径计算公式为：
1．如图1，已知在△ABC中，AD和BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC外接圆于E，连结BE，求证：BE=DE。
证明： 如图1，
说明: 三角形内角平分线的交点是三角形的内心，所以本题可叙述为如下命题：“三角形一个角所对外接圆圆弧的中点到另外两个角的顶点的距离。等于它到这个三角形的内心的距离．”
2．如图2，已知圆O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，交圆O于E，求证：AE平分∠OAD。
证明: 如图2，连结OE。
平分
平分
说明: 图2中从顶点A引出的三条线段AO、AE、AD分别经过△ABC的外心、内心、垂心，所以本题给出了联系三角形外心、内心、垂心的一个几何性质。
3．如图3，已知H、O分别是△ABC的垂心和外心，OL⊥BC于L，求证：AH=2OL。
证明： 如图3，作OM⊥AC于M，则M是AC的中点，连结ML。
于 是 的中点，
是△ABC的一条中位线，
同理，
又 LM是△ABC的中位线，
说明: (1)构造两个三角形相似，利用相似比来证等比式是本题证明的思路。
(2)本题可叙述为关于三角形垂心和外心的一个命题：“三角形垂心到一个角的顶点的距离等于外心到这个角对边距离的两倍”。
①三角形的外接圆有关定理：三角形各边垂直平分线的交点，是外心。外心到三角形各顶点的距离相等。外心到三角形各边的垂线平分各边。
② 三角形的内切圆有关定理：三角形各内角平分线的交点，是内心。内心到三角形各边的距离相等。三角形任一顶点到内切圆的两切线长相等。三角形顶点到内切圆的切线长，是这点到圆心的距离与它圆外部分的比例中项。