几何分布

更新时间：2023-06-29 16:29

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。

定义

在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A出现时停止，此时所进行的试验次数为X，其分布列为：

此分布列是几何数列的一般项，因此称X服从几何分布，记为X ～ GE(p) 。

实际中有不少随机变量服从几何分布，譬如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数X ～ GE(0.05) 。

分类

它分两种情况：

（1）为得到1次成功而进行n次伯努利试验，n的概率分布，取值范围为1，2，3，...；

这种情况的期望和方差如下：

（2）m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为0，1，2，3，...。

这种情况的期望和方差如下：

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个p= 1/6的几何分布。

参数p的几何分布

概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。

几何分布的期望 ，方差 。

几何分布的推广

推广1

现进行如下试验，在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A和都出现后停止，此时所进行的试验次数为X，则有：

其中，q=1-p，k=2，3，...。

因此，上式可以成为一个分布列，此分布列是两个几何数列一般项的和，在这里称X服从两事件下推广的几何分布，记为X ～ PGE(2；p) ，数学期望为：。当P =时，E(X) 取最小值，此时E(X)= 3．

由于，因此可以得到：

推广2

现进行独立重复试验，每次试验会有三个事件A、B、C中的其中一个发生，记每次试验中事件A、B、C发生的概率分别为，且 。试验进行到事件A、B、C都发生后停止，此时所进行的试验次数为X，则有：

其中，k=3，4，...。因此上式也可以作为一个分布列，此分布列是六个几何数列一般项的和与差，称X服从三事件下推广的几何分布，记为X ～ PGE(3；)。数学期望为：

容易验证，当时，E(X)有最小值，此时E(X)=5.5。

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