公理体系

在D.希尔伯特建立的欧几里得几何的公理体系（见）

此数列的极限为0。因而前两数列有相同的极限。这样，就以此极限定义为矩形的面积。依此可证矩形的面积等于其两邻边长度之积。

关于圆周长度与圆面积，在初等几何中是这样来定义的:由于一个圆的内接正n边形和外切正n边形,当边数无限倍增时，一系列的内接正多边形的周的长度构成一无穷递增数列，一系列的外切正多边形的周的长度构成一无穷递缩数列，这两数列有相同的极限。这样，就以此极限定义为圆周长度。

同样，两系列的多边形的面积也分别构成一无穷递增数列和一无穷递缩数列。这两数列也有相同极限。这样，就以此极限定义为圆的面积。

根据上述定义，可证明圆周长度C=2πr；圆面积S =πr，式中r为圆的半径；π为圆周率。