更新时间：2022-08-26 11:24
在群论中，凯莱定理，以阿瑟·凯莱命名，声称所有群G 同构于在G上的对称群的子群。这可以被理解为G在G的元素上的群作用的一个例子。
所有群G同构于在G上的对称群的子群，集合G的排列是任何从G到G的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群，叫做“G上的对称群”并写为Sym(G)。
凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(R,+)）都当作某个底层集合的排列群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对排列群成立的定理对于一般群也成立。
Burnside将其归功于Jordan，但是 Eric Nummela争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。
从初等群论中，知道了对于任何G中元素g必然有g*G=G；并通过消除规则知道了g*x=g*y当且仅当x=y。所以左乘g充当了双射函数fg:G→G，通过定义fg(x) =g*x。所以，fg是G的排列，并因此是Sym(G)的成员。
Sym(G)的子集K定义为
同态T也是单射因为：T(g) = idG（Sym(G)的单位元）蕴含了对于所有G中的x有g*x=x，选取x为G的单位元e产生g=g*e=e。可替代的，T(g)也是单射因为：g*x=g*x'蕴含x=x'（通过左乘上g的逆元，因为G是群所以一定存在）。
因此G同构于T的像，它是子群K。T有时叫做G的正规表示。
另一个的证明
另一个证明使用了群作用的语言。考虑群 为G-集合，可以证明它有排列表示 。
首先假设 带有 。则根据G-轨道分类这个群作用是 （也叫做轨道-稳定集定理）。
现在这个表示是忠实的，如果 是单射，就是说，如果的核是平凡的。假设 ∈ ker ，则，通过排列表示和群作用的等价性。但是因为 ∈ ker , 并因此ker 是平凡的。则im并因此利用第一同构定理得出结论。
单位元对应于恒等排列。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的排列。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的排列：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。