更新时间：2022-08-25 17:42
凸集分离定理是凸集理论的最基本的定理，它是指在很弱的条件下，两个不相交的凸集总可用超平面分离。
凸集分离定理（超平面分离定理）是应用凸集到最优化理论中的重要结果，这个结果在最优化理论中有重要的位置。所谓两个凸集分离，直观地看是指两个凸集合没有交叉和重合的部分，因此可以用一张超平面将两者隔在两边。
设为两个非空集合，如果存在非零向量及使得
则称超平面分离了集合与。
为了证明凸集分离定理，先给出凸集的一个性质，我们不妨把一个闭凸集想象成为一个三维的充满了气体的气球（因为必须是凸的），那么，在气球外一点，到气球内个点（包括内部）的距离是不一样的，但肯定在气球上有一点，它到的距离是所有距离中最小的，这是凸集特有的性质。下面是这个性质的定义及证明：
设为非空闭凸集，，则存在唯一的，使得该点与的距离最小，即有：
根据范数的等价性，这里的范数可以是任何一种范数。
先证明其存在性，考虑单位超球
取足够大的正数，使。
因为为闭集，而是一个有界闭集，所以是一个非空有界闭集，于是可以在上的某一点取得它的最大值，在另一点上取得其最小值。
设这个最小值在处达到，即是到的最小距离点，记此距离值为。
再证唯一性。
假设还存在另一点，使
记。
因为，两边取范数，则有
但是由于是凸集，是与的凸组合，所以。
而由于是到的最小距离，故
根据平行四边形定律（两对角线的平方和等于一组临边平方和的两倍），有：
把（1）和（2）代入，有
故有，唯一性得证。在此基础上，可以给出凸集分离定理的证明。
因为为非空集合，是外的一点，故由引理知，存在一点，使得
设，那么因为凸集，故有，使
因此，
上式两边的可消去，得
在上式中，令，得
记，有
若记，则有
另一方面，由于
所以
定理得证。
凸集分离定理的一个应用例子是Farkas引理，这个定理是最优性条件中最重要的基础。
利用Farkas引理，还可以证明有价值的Gordan定理和择一性定理。Gorden定理在证明最优性条件中著名的Kuhn-Tucker条件，是极为关键的基础。