更新时间：2024-01-29 22:50
分式环（ring of fractions）是环论的一个概念，分式环或分式域是包含一个整环的最小域。
在抽象代数中，分式环或分式域是包含一个整环的最小域。
若以交换幺环中所有非零因子为乘性子集，则全分式环。
典型的例子是有理数域之于整数环。
从整数环Z出发造有理数域Q(并将 Z 嵌入 Q) 的方法毫无困难地可以推广到任意整环 A 上去从而得到 A 的分式域。这个造法在于选取形如(a, s) 的一切有序对的集合, 其中 a, s, ∈ A 而 s ̸= 0 并在这个集合中引进等 价关系:
(a,s) ≡ (b,t) ⇔ at−bs = 0.
因为在验证这个关系的传递性时, 要用消去律, 这就说明要利用 A 中不存在零因子这一事实, 所以这个造法仅当 A 是整环才行得通。然而这个方法可以 被推广如下:
设 A 是任意环。A 的乘法封闭子集指的是这样的一个自己 S ⊂ A, 它 包含 1 而且它对于乘法是封闭的。换句话说, S 是 A 乘法半群的子半群。在A × S 上按以下方法定义一个等价关系:
(a,s) ≡ (b,t) ⇔ (at − bs)u = 0.对于某个u ∈ S.
显然, 这个关系是自反的, 对称的, 为了验证传递性, 假设 (a,s) ≡ (b,t) 和(b, t) ≡ (c, u), 那么在 S 中存在着元素 v, w 使得 (at−bs)v = 0, (bu−ct)w = 0. 从这两个方程中消去 b, 得到 (au − cs)tvw = 0。因为 S 是乘法封闭的, 所 以 tvw ∈ S. 因此 (a, s) ≡ (c, u)。这样我们就有了一个等价关系。将 (a, s)所属的等价类记作 a/s, 并设 S−1A 是所有等价类所组成的集合。在“分数”a/s 上按初等代数的公式
(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st,(a/s)(b/t) = ab/st,
定义加法和乘法, 就在 S−1A 上引进了一个环同构。
注记: 如果 A 是整环而 SA {0}, 那么 S−1A 就是 A 的分式域。环 S−1A 叫做 A 对于 S 的分式环。