更新时间:2024-07-17 16:26
分形维数被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。分维反映了复杂形体占有空间的有效性,它是复杂形体不规则性的量度。它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下或过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能,时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的,进而拓展了人类的视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(B.B.Mandelbrot)1975年首先提出来的,但最早的工作可追溯到1875年,德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托尔(G.Cantor,德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年,意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。1904年,瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年,波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓扑学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年,德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究,提出分数维概念。1928年布利干(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应用于非整数维,由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金(L.S.Pontryagin)等引入盒维数。1934年,贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维,他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
fractal dimension主要描述分形最主要的参量,简称分维。通常欧几里得几何中,直线或曲线是1维的,平面或球面是2维的,具有长、宽、高的形体是 3 维的;然而对于分形如海岸线、科赫曲线、门格海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的整数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成4个长1/3英寸的线段,总长度变为 3×4×1/3=4 英寸;每一次变换使总长度变为乘以4/3,如此无限延续下去,曲线本身将是无限长的。这是一条连续的曲线,永远不会自我相交,曲线所围的面积是有限的,它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内,确实是占有空间的 ,它比1维要多,但不及2维图形,也就是说它的维数在1和2之间,维数是分数。同样,门格海绵内部全是大大小小的空洞,表面积是无限大,而占有的 3 维空间是有限的,其维数在2和3之间。
计算分形维数的公式如下
式中 是小立方体一边的长度, 是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目。维数公式意味着通过用边长为 的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。
对于通常的规则物体 ,覆盖一根单位长度的线段所需的数目要 ;覆盖一个单位边长的正方形, ;覆盖单位边长的立方体, 。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。
利用维数公式可算得科赫曲线的维数 ,门格海绵的维数d=(ln3/ln2)=2.7268。对于无规分形,可用不同的近似方法予以计算,也可用一定的适当方法予以测定。