将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。

1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。

布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。

2 分数布朗运动与分形资本市场

2.1 分数布朗运动

世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。因此被称为1/f族随机过程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。其定义如下：

设0＜H＜1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且 ，协方差为 。H=1/2时， 即为标准布朗运动 。

分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。

Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:

R/S=(aN)H

通过对上式取对数，可得：

log(R/S)=H(logN十loga)

只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。 Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。当0.5＜H＜1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0＜H＜0.5时，序列是反持续性的。可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。

2.1 分形资本市场

自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。彼得斯(Peters)就利用上述方法，在《资本市场的混沌与秩序》中证明了资本市场是分形市场。事实上，证券市场中收益率明显存在自相似性：日、周和月收益率图形根本难以区分。另外，他还用相关维方法分析了美国、英国和日本的股票市场指数的分形特征，发现美、英、德的股票市场指数分形维都在2与3之间，这意味着对于经济学系统的股票系统可以用三个变量来建立动力学模型。最后他得出结论：大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征的，它们有循环和趋势双重特征。信息并没有像EMH所描述的那样会立即被反映在价格中。所以将趋势和随机运动两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。

Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是非线性系统。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天；徐绪松等 (2004) 指出稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础有重大缺陷，分析了分数布朗运动与R/S分析在含义和逻辑上的紧密联系，提出了分数布朗运动是R/S分析的理论基础的观点。

分形理论藉助定量参数分维数来描述系统的分形特征，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，以及局部与整体之间的本质联系。静态分维数在计算中没有引入时间因素，如Hausdrff维数、合维数、信息维数等，均为系统中某一常数。动态分维数（都兴富，1994）则是在考虑随时间而变化的基础上计算普通函数和迭代函数的分维数。运用动态分维数可以对股票期货价格行为的临界点（转捩点）进行辨识且效果较好。如侯晓鸿和李一智等(1999) 首次应用分形理论的动态分维数研究期货价格行为，对期货价格曲线上峰和谷点进行了辨识，进而判别期价的走势和预测反转。我们应用动态分维数建立了不动点（转捩点）的非线性动态规划模型（见本专题文章“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”）。

结语

广义的布朗运动是研究和发展数理金融学的基石。布朗运动的理论构筑了金融经济学（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机，使金融经济学研究向一个崭新的领域——分形维数理金融学拓展。