更新时间：2022-08-25 18:20
切向量场即切丛的截片。
设 M 为巴拿赫微分流形， 为其切丛，若 Cr 映射 满足条件，其中 id 为 M 上的恒同映射，则称 ξ 为 M 上的一个 Cr 切向量场，切向量场也常简称向量场。
地球是一个流形 M ， 在1月1日12:00，我们把地球上的每一点处的风向记下来，画成一张全球风向图。 一点处的风向就是切向量， 这张风向图就是切向量场。
一个著名的定理就是说，地球上任何时刻的风向图中， 必有一处的风速为零（就是没有风）。
这说明微分几何与拓扑学有着密切的关系。 上述定理实际上是著名的DeRham上同调的推论。
几何直观上说， 切丛就是流形上每一点处的切空间“粘合”在一起得到的新流形--即向量丛。 这是流形自带的一个向量丛，它反映了该流形的大范围性质和局部性质的联系。
利用切丛和余切从，我们可以得到(p,q)型张量。由此可以引入联络的概念，人们就可以像计算函数导数那样去描述切向量的变化。
很多几何概念都可以通过切丛和余切丛来定义。比如黎曼度量的概念也可以从切丛的局部化上定义，进而得到大范围上的度量。近复结构也可以利用切丛来定义。