更新时间：2024-06-25 11:54
刚体绕一固定点的运动。绕固定点转动的刚体只有一点不动，而其余各点则分别在以该固定点为中心的同心球面上运动。支在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等，都可以作这种运动。 定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、φ来定位。
刚体绕一固定点的运动。绕固定点转动的刚体只有一点不动，而其余各点则分别在以该固定点为中心的同心球面上运动。支在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等，都可以作这种运动。定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、φ来定位。
刚体的定点转动方程为：
式中t为时间。
达朗伯－欧拉定理
可表述为：定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现，该轴通过刚体的固定点。这个定理是J.le R.达朗伯于1749年,L.欧拉于1750年先后提出的，故得名。说明如下：
以中心在固定点O的任一球面截取刚体的截面图形S（图1）。在刚体的有限位移中，图形内一点由A运动到A1，而另一点由B运动到B1，则大圆弧AA1的中垂面和大圆弧BB1的中垂面的交线OP*就是刚体这一有限位移的转轴。
微小角位移
在短暂的时间间隔△t内，刚体绕轴OP*转过一微小角度Θ，称为角位移。它具有矢量的性质，可按平行四边形规则相加。如用欧拉角定位，则当ψ、θ、φ有微小变化dψ、dθ、dφ时，刚体的微小角位移矢量Θ可表示成：
Θ=dψk+dθn+dφk′=Θxi+Θyj+Θzk，
式中i、j、k为固定轴系Oxyz的单位矢；n、k′为节线和动基轴Oz′的单位矢（图2）。
角速度
Δt趋向于零时，Θ趋于一个极限方向，Θ与Δt之比也趋于一个极限值ω。矢量ω称为刚体在瞬时t的角速度，其数学表达式为：
式中
分别是绕三个欧拉角的轴2、n、z′转动的角速度。Δt→0时转轴OP*所趋于的极限位置OP称为刚体的瞬时轴，在每一瞬时，刚体以角速度ω绕瞬时轴转动。
瞬轴锥面
随着时间的推移，刚体的瞬时轴要改变位置，它在固定空间描出一个锥面，称定瞬轴锥面（即空间极锥的锥面）；同时在刚体内部也描出一个锥面，称为动瞬轴锥面（即本体极锥的锥面）。由此可得潘索定理：刚体定点转动可用动瞬轴锥面在定瞬轴锥面上的纯滚动来代替。
在定瞬轴锥面上，刚体的角速度矢ω的端点E描出的曲线称为ω矢端图（图3）。
角加速度
作定点转动的刚体角速度ω通常是变量。角速度变化 Δω与对应时间间隔Δt的比值当Δt→0时所趋至的极限值ε称为刚体在瞬时t的角加速度，其数学表达式为：
可以把
视为ω矢端E沿矢端图运动的速度。
里瓦斯公式
定点转动刚体内任一点Q的速度v和加速度a的公式，它们是：
v=ω×r， a=a1+a2=ε×r+ω×v，
式中r为点Q的矢径;a1=ε×r为旋转加速度,沿着(ε，r)平面的法线，一般并不和速度v共线；a2=ω×v为向轴加速度,恒垂直并指向瞬时轴(图4)，但不是沿点Q轨迹的主法线。
下面以分析碾盘的定点转动为例作一说明。 如图5所示，碾盘在固定水平面上绕固定点 O作无滑动的匀速滚动。碾盘和水平底盘相接触之点P┡的速度为零。OP是瞬轴,定瞬轴锥面是圆锥AOP,动瞬轴锥面是圆锥P'OB。角速度矢ω的端点E具有线速度u=ε，沿轴Ox‘正向。碾盘上B点的速度vB平行于轴Ox’，加速度aB=aB1+aB2且a垂直于OB和Ox'所在平面，而aB2垂直并指向瞬时轴OP。