加法原理

更新时间:2022-09-25 12:24

加法原理是分类计数原理,常用于排列组合中,具体是指:做一件事情,完成它有n类方式,第一类方式有M1种方法,第二类方式有M2种方法,……,第n类方式有Mn种方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种方法。

原理介绍

加法原理是分类计数原理,常用于排列组合中,具体是指:做一件事,完成它可以有 类方法,在第一类方法中有 种不同方法,在第二类方法中有 种不同方法,……,在第 类方法中有 种不同方法,那么完成这件事共有 种不同的方法。

乘法原理

做一件事,完成它需要分成 个步骤,做第一步有 种不同方法,做第二步有 种不同方法,……,做第 步有 种不同方法,那么完成这件事共有 种不同的方法。

联系

加法原理和乘法原理是两个基本原理,它们的区别在于一个与分类有关,另一个与分步有关。运用以上两个原理的关键在于分类要恰当,分步要合理。分类必须包括所有情况,又不要交错在一起产生重复,要依据同一标准划分;而分步则应使各步依次完成,保证整个事件得到完成,不得多余、重复,也不得缺少某一步骤。

例题

分类计数原理、分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。两者区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事。两个计数原理渗透了“以简驭繁、化难为易”的基本思想。

简单问题

例1.如图1,从甲地到乙地有两条路可走,从乙到丙地有三条路可走,又从甲地不经乙地直达丙地有三条路可走,问从甲地到丙地的不同走法有几种?

解:

第一类从甲直接到丙的有3种,第二类从甲经乙到达丙的有种,因此从甲到丙地有种不同的走法。

例2.书架上有不同的数学书5本,不同的物理书4本,不同的化学书3本。

(1)从中任取一本,有多少种不同的取法?

(2)从中每种各取一本,有多少种不同的取法?

分析:

(1)因为从数学、或从物理、或从化学这三类书的任一类中任取一本,都可一次性独立完成“从中任取一本”这件事,即可分类完成,因此可用加法原理。

(2)因为在这里不能一步到位,而需分三步进行才能完成。也就是在5本数学中取一本,还要从4本物理书与3本化学中各取一本,才能完成这件事,因此用乘法原理。

解:

(1)由加法原理,共有种不同的取法

(2)由乘法原理,共有种不同的取法

有关数字问题

例3. 用0-9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的4位偶数?

分析:

这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字0不能排成在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8

从限制条件人手,可划分如下:

如果从个位数人手,4位偶数可分为:个位数是0的4位偶数;个位数是2、4、6、8的4位偶数(0不能放在千位数上);

如果从千位数入手,4位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类。

如果4位数划分为4位奇数和4位偶数两类,先求出4位奇数的个数,用排除法可得解。

解:

当个位数上排0时,千位、百位、十位上可以从余下的9个数字中任选3个来排列,故有 个;当个位在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的8个非零数字中任选1个,百位、十位上再从余下的8个数字中任选2个来排,按分步计数原理有 个

数字排列问题对培养学生分析问题、解决问题的能力大有好处,本题是典型的具有简单条件的排列问题,上述解法是最基本、最常见的解法,要认真体会每种解法的实质,掌握其解答方法,以期灵活运用。

关于工作分配问题

例4. 在奥运会的开幕式表演期间,某一安检部门有6种不同工作要分配给6人担任,每个人只担任一种工作,且甲不能担任其中某2种工作,问有几种分配方法?

分析:本题是排列组合中的一道典型问题,根据题意“甲不能担任其中某2种工作”,其基本解法有直接法、排除法等。

解:

先满足特殊元素甲,甲能担任的工作有4种,先分配甲,分配后,余下工作由其余5人分担,有 种分担方法,故共有分配方法数

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