更新时间：2021-12-14 14:24
匹配理论（Matching theory）是微观经济学的领域之一，主要研究匹配相关的性质，如匹配的稳定性，匹配机制以及匹配机制中参与人的策略与对应的均衡结构等内容。
匹配是日常生活中常见的现象，如市场上买方和卖方相互匹配，婚姻中男性和女性相互匹配，学校中学生相互匹配组成寝室等。匹配理论的创始人之一是西北大学的Dale T. Mortensen。一本关于劳动力市场匹配方法的教科书是ChristopherA. Pissarides的《均衡失业理论》。Mortensen和Pissarides与Peter A. Diamond一起被授予2010年诺贝尔经济学奖，以表彰他们“对搜索和匹配理论的基本贡献”。匹配理论最早的理论研究可以追溯到1962年David Gale与LloydS. Shapley的论文《大学招生和婚姻的稳定性》，在此之后Alvin Roth明确给出了双边匹配的定义，做出了一系列重要的研究，并于2012年与Shapley因“稳定分配理论与市场设计的实践”共同获得诺贝尔经济学奖。匹配理论可以用于指导设计资源匹配机制，以实现资源的有效分配和利用，并已在器官移植，无线通信等多个领域得到了实际应用。
匹配理论的重要课题之一是双边匹配问题，其中双边指的是匹配关系是建立在两个不交的集合之间的，例如婚姻关系中男性集合与女性集合是不交的；而匹配是指这种关系是双向的，例如如果我为一家公司工作，那么这家公司就雇用了我。由此可知：市场中如果有人既是买方也是卖方，那么卖出与买入的关系不构成双边匹配；男性与女性之间的婚姻关系构成一对一的双边匹配；劳动力市场上雇主与雇员构成一对多的双边匹配；学生互相匹配组成寝室不是双边匹配。下面简要介绍一对一的双边匹配的理论。
考虑男性与女性之间婚姻关系构成的双边匹配，此时匹配关系是一对一的，也即一位男性与一位女性相匹配。设M代表男性集合，代表集合中的一位男性；W代表女性集合，代表集合中的一位女性，那么一个匹配如下所示：
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匹配就代表了与配对，与配对，与配对。
下面考虑个体的偏好，也即个体更倾向于和谁匹配，在婚姻模型中这意味着男性更愿意和哪位女性结婚，以及女性更愿意和哪位男性结婚。例如的偏好可以记为：
意味着会优先选择与结婚，其次是，再次是。不妨设6人偏好如下：
并假设他们形成了匹配，此时与配对，与配对，但是相比现在的匹配对象更希望与匹配，且相比现在的匹配对象也更希望与匹配。那么此时与有充分的动机打破当前的匹配并互相匹配在一起，我们称此时匹配不是稳定的，是它的破坏配对。此处可以看出破坏配对的含义：破坏配对在匹配中是未相互配对的，且相对于他们当前的伴侣都更喜欢对方。
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在了解婚姻匹配的稳定性后，一个自然的问题是：给定男性和女性的集合，以及每名男性或者女性的偏好后，稳定的婚姻匹配是否一定存在？如果存在如何求出一个稳定匹配？Gale与Shapley给出的延迟接受算法回答了上面的问题。
延迟接受算法说明了稳定婚姻匹配的存在性，并给出了一个稳定的婚姻匹配，它的主要流程如下：
首先此算法一定会停止，这是因为男性和女性集合都是有限的，且每位男性对某位女性最多只求婚一次。其次此算法给出的匹配一定是稳定的，这是因为：假设算法给出的匹配中与不是相互匹配的，且相比自己当前的伴侣更喜欢对方，那么一定在向自己当前伴侣求婚之前一定已经向求过婚，但是因为有比更好的选择而被拒绝了。故不存在这样的破环配对，匹配是稳定的。
不妨以上一节中的偏好为例展示延迟接受算法的流程：
第1次求婚后，由于和都向求婚，此时只接受她更喜欢的，而拒绝了，匹配情况如下：
第2次求婚只有被拒绝的向他下一级偏好的女性求婚，而直接接受，此时没有男性被拒绝，算法停止，得到的稳定匹配记为：
在上述例子中，男性和女性集合大小是相等的，且个人的偏好是严格，且没有考虑到个人与其与某人匹配宁愿单身的情形。但实际上这些因素均不影响稳定婚姻匹配的存在性，且只需对算法稍加改动（如男性只向可接受的女性求婚，若已经被所有可接受的女性拒绝就不再求婚，保持单身）就可以包含这些情况。
我们还可以发现由于男性与女性在婚姻匹配问题中的地位是对等的，将上述算法中男性主动求婚，女性延迟接受改为女性主动求婚，男性延迟接受可以得到另一生成稳定匹配的算法，事实上此算法生成的稳定匹配正是与不同的。对比与可以发现中每一位男性都相比中获得了同样好或更好的匹配：相比更喜欢，匹配结果相同，相比更喜欢。且中每一位女性都相比中获得了同样好或更好的匹配。这并不是一个巧合，我们有下面的定理：
定理：若所有的男性和女性的偏好都是严格的，那么总会存在一个男性最优稳定匹配和一个女性最优稳定匹配。且由男性求婚的延迟接受算法得到的稳定匹配正是男性最优稳定匹配，由女性求婚的延迟接受算法得到的稳定匹配正是女性最优稳定匹配。
延迟接受算法实际上给出了一种稳定匹配机制，这意味着所有男性和女性只需提交自己的偏好，机制就可以给出一个稳定婚姻匹配方案。然而此时个体真的会提交自己真实的偏好吗，换言之，个体提交一个不真实的偏好是否有可能获得一个更好的匹配结果，从而有动机谎报偏好？这样的情况确实可能出现，若使用博弈论的模型，将婚姻匹配视为一次静态博弈，最终获得怎样的匹配对象可以视为个体的收益，而个体的可选的策略是提交不同偏好，那么提交自己真实的偏好并不总是占优策略。那么有可能设计一个稳定匹配机制使得每位参与人提交自身的真实偏好总是占优策略吗？Roth在1982年通过下面的定理，给出了否定的答案：
定理：不存在稳定匹配机制使得对每个参与人来说提交真实偏好都是占优策略。
器官移植是某些疾病的重要治疗方法，但相比需要移植器官的患者数量，可供移植的器官数量非常有限。即使病人家属有捐献器官的意愿，但由于受体和供体之间必须在血型等多方面相互匹配，家属并不一定能够提供有效的捐献。Roth等人研究了交换捐献器官的可能性，即有意愿捐献器官的家属由于免疫排斥等原因无法将器官捐献给病人，但是可以在交换捐献机制下将器官捐献给相匹配的其他病人，作为回报，病人将获得来自其他捐献者的相匹配的可移植器官。Roth等人发现其中捐献者-病人对之间的匹配问题类似机制设计中分配不可分物品的问题，并说明了交换捐献机制下病人可能获得更多数量以及更高质量的可移植器官。这一机制已经在美国的一些地方实际开始运行。