区间

更新时间:2024-06-03 17:50

在数学里,区间通常是指这样的一类实数集合:如果x和y是两个在集合里的数,那么,任何x和y之间的数也属于该集合。例如,由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合,便是一个区间,它包含了0、1,还有0和1之间的全体实数。其他例子包括:实数集,负实数组成的集合等。

记号

通用的区间记号中,圆括号表示“排除”,方括号表示“包括”。例如,区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数,但不包括10和20。另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之间的实数,以及10和20。而当我们任意指一个区间时,一般以大写字母 I 记之。

有的国家是用逗号来代表小数点,为免产生混淆,分隔两数的逗号要用分号来代替。例如[1, 2.3]就要写成[1; 2,3]。否则,若只把小数点写成逗号,之前的例子就会变成 [1,2,3] 了。这时就不能知道究竟是 1.2 与 3 之间,还是 1 与 2.3 之间的区间了。

在法国及其他一些欧洲国家,是用 与 代替 与 。比如 写成 , 写成 。这种写法原先也包括在国际标准化组织编制的ISO 31-11内。ISO 31-11是一套有关物理科学及科技中所使用的数学符号的规范。在2009年,已由新制订的ISO 80000-2所取替,不再包括 与 的用法。

定义

集合的语言,我们定义各种区间为:

注意 均是代表空集单元素集合不能用区间表示,如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]。而当a>b时,上述的四种记号一般都视为代表空集。区间不为空集时,a, b称为区间的端点。一般定义 b - a 为区间的长度。区间的中点则为 (a+b)/2。

区间[a,b]有时也称为线段。(不为空集或单元素集的话)

除了表示区间,圆括号和方括号也有其他用法,视乎语境而定。譬如 也可表示集合论中的有序对丶解析几何中坐标线性代数向量的坐标,有时也用来表示一个复数,有时在数论中,用 表示整数 的最大公约数。 也偶尔用作表示有序对,尤其在计算机科学的范畴里。同样在数论里,用 表示整数 的最小公倍数。

有部分作者以 来表示区间 在实数集里的补集,即是包含了小于或等于a的实数,以及大于或等于b的实数。

无限区间

我们可以用 符号来表示区间在某方向上无界。具体定义如下:

特别地, 表示正实数集,亦记作 。 则表示了非负实数集。

如果区间是单侧无界,也称为射线或半直线。如果它包含有限端点,则称其为闭射线或闭半直线。如果不包含有限端点,则称其为开射线或开半直线。

一般使用的便是以上五种记号,而 等的写法则相当少见。有的作者假定区间为实数集的子集,对于他们来说,这些写法要麽是无意义,要麽就是跟用圆括号的意思没两样。在後者的情况下,我们可以写作 。于是实数集可被视为又开又闭的区间。

如果我们考虑扩展的实数轴,那么这四种写法是有数的区间。

一般而言,对于整数a,b,具体写作: 。

除了[a..b],也有{a..b}和a..b的写法,意思一样。

[a..b]的记号被用于一些程式语言,例如PascalHaskell

如果一个整数区间是有界的话,那麽它必然包含最小数a和最大数b。因此,如果想定义去掉最小数或最大数的区间,只需用[a..b-1], [a+1..b]或[a+1..b-1]表示。无需像实数区间般引进 [a..b)或(a..b)的记号。

分类

实数区间一共可分成11种,如下所列。其中a,b是实数,且a为区间的左端点,b为区间的右端点。

1. 空集:

2.退化区间 (degenrate interval):

有界区间

3. 闭区间:

4. 开区间:

5. 左闭右开区间:

6. 左开右闭区间:

单侧无界

下界但无上界

7. 左闭:

8. 左开:

有上界但无下界:

9. 右闭:

10. 右开:

11. 双侧无界:

#1、#4、#8、#10、和#11可称为“开区间”(标准拓扑下是开集),#1、#2、#3、#7、#9和#11可称为“闭区间”(标准拓扑下是闭集)。#3和#4有时称为“半开区间”或“半闭区间”。#1和#11同时为“开”和“闭”,并非“半开”、“半闭”。

区间表示法

区间表示法是指在实数线上,以视觉化的方式表示出一个区间的范围。亦指以区间形式给出(含有一个未知数x的)不等式的解集。

性质

上述的各种区间正是实数轴上的全体连通子集。由此可推得,一个区间在连续函数下的像也是一个区间,这是介值定理的另外一个表述。

区间也恰好涵盖了实数集的所有凸的子集。另,设X是 的一个子集,如果Y是包含X的最小闭区间(即如果 Z是另一个包含X的闭区间, Y也包含于Z), 便是Y的凸包。实际上, 。

任意一组区间的交集仍然是区间。两个区间的并集是区间,当且仅当它们的交集非空,又或者一个区间所不包含的端点,恰好是另一个区间包含的端点。例如: 。

如果把 当作度量空间,它的开球便是区间 (r为正数),闭球便是区间 。

定义推广

多维区间

一个n维区间可定义为 的子集,其为n个区间的笛卡尔积,即 。

n=2时,一般来说是定义了一个长方形,它的长和宽分别平行于两条坐标轴。n=3时,一般的是定义了一个长方体,它的各边同样是平行于坐标轴。

复数区间

复数的区间可定义成复平面上的一个区域,两种合理的选择是长方形或圆盘。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算,在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

区间算术的基本运算是,对于实数线上的子集 及 :

[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]

被一个包含零的区间除,在基础区间算术上无定义。

区间算术的加法和乘法符合交换律结合律和子分配律:集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。

免责声明
隐私政策
用户协议
目录 22
0{{catalogNumber[index]}}. {{item.title}}
{{item.title}}