半角公式

更新时间:2024-10-30 16:07

半角公式是利用某个角的三角函数值,来求其半角的三角函数值的公式。其可以视为二倍角公式的推论。在实际使用中需注意自行判断符号的正负。

公式内容

半角公式一般是指下面的一组公式:

半角正弦公式

半角余弦公式

半角正切公式

其中,正负的取值要根据角的大小进一步判断

公式推导

从二倍角公式出发即可依次得到上述的所有公式。

已知余弦的二倍角公式:

移项后,将替换为,立得:

对于正切,只需将上述两式的左右两边相除:

最后证明,对上述推导得到的正切半角公式作如下处理即可:

最后由于,,同时经讨论易得与取值的正负是一致的。于是去平方后有:

综合以上,所有半角公式得证。

应用举例

例1 求的值。

解:首先由于的终边位于第一象限内,故,代入半角公式得:

例2 已知,,求的值。

解:首先,故,代入半角公式得:

例3 已知等腰三角形顶角的余弦值为,求底角的正切值。

解:首先等腰三角形的底角的正切值,恰为顶角的半角的余切值(余切值为正切值的倒数),且必定大于零。设底角为则有:

从而。

锐角情形的平面几何推导

如图所示,当为锐角时,半角公式可以用平面几何的方法推导出来。以下是一个例子:

在上图中,是圆的切线,且,。设圆的半径为,在直角三角形中,

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