如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数M，使不等式

成立。

数列有界性的几何解释是：数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。

单调有界数列必有极限。具体地说：

（i）若数列 递增且有上界，则

（ii）若数列 递减且有下界，则

设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。

分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当n>N时，有xn=xN，因此对 。即{xn}收敛到xN。

如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。则：

①由取法可知数集B非空，而{xn}为严格单调递增数列，故 。∴ 。

② 。

③∵A中任何元素都不是{xn}的上界，∴ 。

又∵B中任何元素都是{xn}的上界，∴ 。

故必有 。

∴由戴德金定理可知，存在唯一实数η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

但无论是哪种情况， 。

④由数集A的意义可知， 。而数列单调递增，故当 时， 。

⑤由数集B的意义可知，当 时， 。

综合④⑤可知，当 时，

∴ ，即{xn}有极限。

同理可证：若数列{xn}单调递减且有下界，则{xn}必有极限。

在一般的教科书中，单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道{xn}有上（下）确界α，再证明{xn}收敛于α。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。以下是其证法。

问题：试通过单调有界定理证明确界原理。

解：不妨设数集S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{rn}，并令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。为更直观理解{xn}，举例如下：

设S=[1,2]。第一次，取r1=3，则x1=min{3}=3。第二次，取r2=5，则x2=min{3,5}=3。第三次，取r3=2.5，则x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r4=2.2，则x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此类推。显然{xn}单调递减并且有下界（S中任何元素都是{xn}的下界），因此{xn}收敛。设极限为η，并且由上述构造可知，η≤xn≤rn。

利用反证法，

①若η不是S的上界，即存在p∈S，使p>η。取 ，根据极限的几何意义，存在正整数N，使不等式η

②任取a>0，若对任意k∈S，都有k≤η-a，根据有理数的稠密性（即任何两个不相等的实数之间必定存在有理数），存在有理数r，使不等式k≤η-a

所以，η是S的上确界。

（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；

（2）数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。