更新时间：2024-05-31 10:12
抽象的讲，一个n维双曲空间就是一个高斯曲率处处为常数的流形。在脑海中形成双曲空间这种图形的概念非常困难，数学家认为这种形状拥有负常曲率(constant negative curvature)，而球形拥有正常曲率(constant positive curve)。
在n维实射影空间Pn中，取射影坐标，考虑Pn内的二次曲面
设使Q变为自身的Pn的射影变换的全体所构成的群为G，称Q为绝对形（absolute），G称为合同变换群（congruent transformation group）。
当a<0时，Q是实二次曲面。设Q的内点的全体为Hn，则群G对于Hn的作用是可迁的。体系是双曲几何，Hn称为n维双曲空间。Hn的点称为寻常点（ordinary point ），Q上的点称为无穷远点（point at infinity ），Q的外部的点称为超无穷远点（ultra infinite point）。所谓Hn的两条直线平行，意味着它们在绝对形上相交。
当a>0时，Q是虚二次曲面，群G对于Pn的作用是可迁的。体系是椭圆几何学中，同一平面上的不同的两条直线必交于一点。将非欧几何作上述表示时，称该表示为克莱因模型（Klein's model）。
[hyperbolic plane]
域上非奇异的、维数为2的迷向二次空间称作双曲平面，即域上的2维向量空间，带有一个二次型Q，且存在非零向量x ，使得，双曲平面的名称来源于二次型Q与2维欧几里得空间中双曲线方程的相似性。特征不为2的域上的任意两个双曲平面都是等距的。有限维双曲平面的正交直和称为双曲空间。