双曲线

更新时间:2024-10-11 21:24

一般的,双曲线(希腊语“Υπερβολία”,字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线

简介

在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。

双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。(其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。

双曲线出现在许多方面:

作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线;作为日后的阴影的路径;作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状,例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道,或更一般地,超过最近行星的逃逸速度的任何航天器;作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径;作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用,但原理是相同的);在无线电导航中,当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时,等等。

双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下,渐近线是两个坐标轴。

双曲线共享许多椭圆的分析属性,如偏心度,焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线,例如双曲抛物面(鞍形表面),双曲面(“垃圾桶”),双曲线几何(Lobachevsky的着名的非欧几里德几何),双曲线函数(sinh,cosh,tanh等)和陀螺仪矢量空间(提出用于相对论和量子力学的几何,不是欧几里得)。

名称定义

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的绝对值等于一个常数(常数为2a,小于|F1F2|)的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。

即:||PF1|-|PF2||=2a

定义1:

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,两焦点之间的距离称为焦距,用2c表示。

定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之为常数e(e>1,即为双曲线的离心率;定点不在定直线上)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线

定义3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。

定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时,其图像为双曲线。

1、系数矩阵满秩,即

2、Δ=B2-AC>0

在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为:.Ax2+Cy2+F=0

上述的四个定义是等价的,并且根据负号的前后位置判断图像关于x,y轴对称

特征介绍

标准方程

1、焦点在x轴上时为:

(a>0,b>0)

2、焦点在y轴上时为:

(a>0,b>0)

其中:||PF1|-|PF2||=2a,b2=c2-a2,|F1F2|=2c。

分支

可以从图像中看出,双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。

焦点

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点,焦点的横(纵)坐标满足c2=a2+b2。

准线

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线

双曲线的准线的方程是: (焦点在x轴)或 (焦点在y轴)

离心率

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率

离心率

双曲线有两个焦点,两条准线。(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线,但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,并且两支关于虚轴对称。所以在两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。)

顶点

双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。

实轴

两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。

虚轴

在标准方程中令x=0,得y2=-b2,该方程无实根,为便于作图,在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴。

渐近线

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。

以焦点在x轴上的双曲线为例,将方程改为,移项之后两边开平方得,这就是焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程。

同理可知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为。

参数方程

焦点在x轴上的双曲线的参数方程为,其中参数t的范围是[0,2π)且

极坐标方程

以双曲线的右焦点为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,则双曲线的极坐标方程为。其中e是双曲线的离心率,e>1;叫做双曲线的焦准距,即焦点到对应准线的距离。

注意极角θ的取值,因双曲线的e>1,会出现分母为0的情况。解1-ecosθ=0,得cosθ=1/e=a/c,在[0,2π)上存在两个点使得等式成立。事实上这两个角恰好就是两条渐近线的倾斜角。

若以左焦点为极点,仍然以x轴正方向为极轴建立极坐标系,则双曲线的极坐标方程为。

焦半径

连接焦点与双曲线上任意一点所得的线段叫做双曲线的焦半径,一般用r1、r2来表示左焦半径与右焦半径。

焦半径公式可由距离公式或圆锥曲线的第二定义推出。

顶点连线斜率

双曲线上一点(不包括两顶点)与两顶点连线的斜率之积为定值。有的参考书上把这条性质看作双曲线的第三定义,即平面内一点与两定点的连线的斜率之积为定值(该定值>0)时,P的轨迹为双曲线(但不包括两定点)。

实际应用

双曲线在实际中的应用有通风塔,冷却塔埃菲尔铁塔广州塔等。

几何性质

由于双曲线在高考的小题中经常出现,并且经常结合渐近线出题,这里列举几个常见的双曲线几何性质,尤其是关于渐近线的性质,便于小题中能快速使用这些性质来解题。

有关渐近线的性质

(1)设双曲线的右准线和一条渐近线交于P,A是右支的端点,F是右焦点,那么OP=OA,OP⊥PF。左边同理。根据这个性质,过焦点作渐近线的垂线,垂足一定在准线上,并且Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

证明:右准线的方程为 ,设它和渐近线 交于 ,于是利用两点之间的距离公式,OP=a=OA。

同时由斜率的定义得到 ,所以 。连接PF,在△OPF中使用余弦定理可得PF=b,∠OPF=90°。即Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

(2)过双曲线上任意一点P作某条渐近线的平行线,交准线于Q,则PQ=PF。

证明:以右焦点和右准线为例,过P作PM⊥准线于M,根据双曲线的第二定义,

所以PF=PM*e

又根据已知条件,PQ与PM的夹角(或其补角)恰好为渐近线的倾斜角,于是 ,所以 。

根据三角函数的定义,

(3)过双曲线上一点P作x(y)轴的平行线,交渐近线于A、B,则PA*PB=a2(b2)。

证明:以作x轴的平行线为例。设P(x0,y0),平行于x轴的直线为y=y0,交渐近线于 。于是:

(4)过双曲线上一点P作两条渐近线的垂线PM、PN,则

证明:根据平面几何知识可知∠MON和∠MPN互补,因此cos∠MPN=-cos∠MON

而根据双曲线的对称性,x轴平分∠MON,利用三角函数的万能公式

因此

又设P(x0,y0),利用点到直线的距离公式,

所以

注意P点在双曲线上,有 ,代入上式得到最终结果。

(5)设一条直线与双曲线交于A、B两点(可以同支或不同支),交两条渐近线于C、D两点,则AC=BD。特别地,若直线是双曲线的切线,切点为P,那么有PC=PD。

证明:利用平面几何。

①当直线垂直于x轴时,根据对称性立刻得到结论。

②当直线不垂直于x轴时,过A、B分别作x轴的垂线,两条垂线交两渐近线于M、N、R、S四点。

得到两组相似三角形△ACM∽△BCR和△ADN∽△BDS

于是有

将两个等式相乘,得

又根据性质3,AM*AN=BR*BS=b2,所以有AC*AD=BC*BD

AC*(AB+BD)=BD*(AB+AC)

化简得AC=BD

当CD是切线时,AB重合为一点P,此时有PC=PD,即:双曲线的一条切线交两条渐近线于两点,则切点到这两点的距离相等。

(6)双曲线的一条切线交渐近线于A、B两点,则:

① 为定值;

②OA*OB为定值。

上述定值均与切点位置无关。

证明:显然,所有平行于x轴的直线都和双曲线有两个交点,因此它们都不会是切线,即双曲线的切线必定与x轴不平行。

所以设切线方程为x=my+n,联立双曲线方程,消去x,得

切线和双曲线只有一个交点,判别式为0,因此

化简得n2=a2-b2m2

从该式子可看出a2>b2m2(因为n一定不会是0,如果n=0则b2m2=a2,使得上述方程的二次项为0,于是得到矛盾方程a2b2=0),因此a±bm≠0。

联立切线和两条渐近线方程,可解得

设切线和x轴交于N(n,0),则

为定值,与切点所处位置无关。

要计算OA*OB,直接套距离公式非常麻烦,可利用向量的方法。

因为 ,且 (证明见性质4),所以

为定值,与切点所处位置无关。

(7)过双曲线上任意一点P作两渐近线的平行线,分别交于A、B两点,则平行四边形OAPB的面积为定值(与P的位置无关)。

设P(x0,y0),那么PA和PB的方程可写为和,于是可以分别求出

利用平行四边形的面积公式,

该性质也可以看作性质(5)(6)的推论,这是因为假设过P的切线交渐近线于M、N两点,由性质(5)可知P是MN的中点。于是由三角形中位线定理,A、B分别是OM、ON中点。那么S△OAP=1/2*S△OMP,S△OBP=1/2*S△ONP。因此S△OAP+S△OBP=1/2*(S△OMP+S△ONP),即S平行四边形OAPB=1/2*S△OMN。根据性质(6)可知S平行四边形OAPB=1/2*ab是定值。

其他性质

因为圆锥曲线涉及切线问题的几乎只有焦点在y轴上的抛物线,双曲线不会考,但作为补充仍给出下列性质。

(8)双曲线 上任意一点 的切线方程为 (注:利用隐函数的求导法则求出斜率后,根据点斜式写出切线方程)

(9)设双曲线在P点的切线与准线交点为Q,那么∠PFQ=90°。焦点弦两端的切线相交于准线上。

(10)设PF1和PF2是两条焦半径,那么P点的切线平分∠F1PF2。反过来,若已知某直线平分焦半径PF1与PF2的夹角,那么该直线与双曲线切于P。这个性质又被称作双曲线的光学性质,即从一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光的反向延长线经过另一个焦点。

(11)若椭圆和双曲线的焦点相同,在椭圆与双曲线的交点处分别作椭圆与双曲线的切线,那么这两条切线垂直。

蒙日圆问题

设双曲线两条互相垂直的切线交于P,则P的轨迹是一个圆(去掉与渐近线的4个交点)。

设交点P(x0,y0),因为双曲线的切线不可能与x轴平行,所以另一条切线不可能与y轴平行,即两条切线都有斜率。

设切线方程为y=k(x-x0)+y0,联立双曲线,消去y得

因为直线和双曲线相切,判别式为0,得

整理得

两条切线互相垂直,斜率之积为-1,根据韦达定理,有

整理得 。

但是,注意到一开始联立切线与双曲线的方程中,二次项系数不能为0,即 。把这个关系代入关于k的一元二次方程中,得到 。因此,P的轨迹是去掉与渐近线的4个交点的圆 ,这个圆叫做蒙日圆,又叫做外准圆。

注意:只有当a>b时方程x2+y2=a2-b2才表示一个圆,此时双曲线的离心率 。

内准圆问题

上面介绍了外准圆(蒙日圆)的概念,现在来研究内准圆的概念。

设AB是双曲线的一条弦(A和B可以在同支或不同支),弦对中心O的张角∠AOB=90°,则无论AB的位置如何,O到直线AB的距离都是一个常数。以该常数为半径,中心O为圆心的圆叫做双曲线的内准圆。

为了证明O到AB的距离是常数,先证明一个引理。

引理:若A、B在双曲线 上并且OA⊥OB,那么 是常数(与A、B位置无关)。

以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则根据极坐标与直角坐标的转换关系,双曲线上任意一点(ρ,θ)均满足 。

由于OA⊥OB,不妨设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+90°),代入上述方程中,得

第二个等式是利用了三角函数的诱导公式cos(θ+90°)=-sinθ和sin(θ+90°)=cosθ。

又根据极坐标的定义, 为定值。

有了引理之后,利用面积法可以证明O到AB的距离是定值。

设O到AB距离是d,根据三角形的面积公式,有 。

两边平方,得 。

所以 是定值。

内准圆的方程为 。

注意:同外准圆相反,拥有内准圆的条件是,所以双曲线内外准圆只能有其中一个。特别地,等轴双曲线(又叫直角双曲线,满足a=b)既没有内准圆也没有外准圆。

这个性质可以简单记忆如下:双曲线内准圆的任意一条切线被双曲线截得的弦,对中心O的张角为直角。

焦点三角形面积公式

设P为双曲线上一点,F1、F2为两个焦点,△PF1F2叫做焦点三角形。若∠F1PF2=θ,

则S△F1PF2= 。

推导:

不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c。由余弦定理,

而根据双曲线的定义,|m-n|=2a,两边平方,整理得m2+n2=2mn+(2a)2

代入余弦定理的表达式:

所以得到

所以

此外,若设P(x0,y0),则△PF1F2可以看做底是2c,高是|y0|的三角形,那么

所以如果知道了点P的坐标或∠F1PF2的其中一个,那就可以求另一个。

若从几何角度研究这个结论:,如图所示,过P作双曲线的切线,交右准线于Z。

则由几何性质(8)和(9)可知PZ是角平分线,且有∠PSZ=90°

而PM⊥MZ,即∠PMZ=90°,所以PMZS四点共圆

所以有∠XMS=∠SPZ=θ/2

而XS是焦准距,,根据三角函数的定义,,即

例:已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为多

少?

解:由双曲线焦点三角形面积公式得:

S△F1PF2=b2×cot(θ/2)=

设P到x轴的距离为h,则S△F1PF2=;h=

重点

取值范围

│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。

对称性

关于坐标轴和原点对称,其中关于原点成中心对称。

顶点

A(-a,0),A'(a,0)。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。

B(0,-b),B'(0,b)。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。

F1(-c,0)或(0,-c),F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2

渐近线

焦点在x轴:

焦点在y轴:

离心率

第一定义:e=c/a且e∈(1,+∞)

第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e。

d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e

焦半径

(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)

左焦半径:r=│ex+a│

右焦半径:r=│ex-a│

等轴双曲线

一双曲线的实轴与虚轴长相等即:2a=2b且e=√2

这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在x轴还是y轴)

共轭双曲线

双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线

几何表达:S:(x2/a2)-(y2/b2)=1,S':(y2/b2)-(x2/a2)=1

特点:

(1)共渐近线,与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点;

(2)焦距相等;

(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1。

准线

焦点在x轴上:x=±a2/c

焦点在y轴上:y=±a2/c

与反比例函数

X2/a2-Y2/b2=1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)

但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X2/a2-Y2/b2=1的对称轴是x轴,y轴

所以应该旋转45°

设旋转的角度为a(a≠0,顺时针

(a为双曲线渐进线的倾斜角

则有:

X=xcosa+ysina

Y=-xsina+ycosa

取a=π/4

则:

X2-Y2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))2

=(√2/2x+√2/2y)2-(√2/2x-√2/2y)2

=4(√2/2x)(√2/2y)

=2xy

而xy=c

所以:

X2/(2c)-Y2/(2c)=1(c>0)

Y2/(-2c)-X2/(-2c)=1(c

由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。

双曲线内、上、外

在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有x2/a2-y2/b2>1;

在双曲线的线上称为双曲线上,则有x2/a2-y2/b2=1;在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x2/a2-y2/b2。

光学性质

从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用。

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