更新时间：2024-09-17 21:25
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
魏尔斯特拉斯函数
魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。
其中 ， 是正奇数，且 满足
如果其导函数存在且是连续的，称 是 连续。如果其导数是 的，称 是 连续。一般的，如果其1阶，直到k阶导数存在且是连续的，称 是 连续。若 任意阶导数存在，则称 是光滑的，或 的。
全体 函数类构成Banach空间。
称 在 处可导，如果存在一线性映射 满足
如果 在定义域上任意点可导，则称为可导函数。
注意：高维函数的偏导数存在，不一定可导。
例子
在(0,0)处不可导，但是偏导数存在。
在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程。即，若可导当仅当满足下列方程：
或等价地写成
流形上的函数称为可导的，如果在任意的局部坐标系下，的局部表示是可导函数。