同一法

更新时间:2024-05-21 11:00

在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法。

同一法则

同一法则的定义是:如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时,那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。

互逆两个命题一般是不等价的。

例如:

原命题:福建省是中国的一个省(真命题)

逆命题:中国的任意一个省一定是福建省(假命题)

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时,则它们是等效的。

例如:

原命题:中国的首都是北京(真命题)

逆命题:北京是中国的首都(真命题)

因为世界上只有一个中国,而且中国只有一个首都,所以互逆的两个命题是等效的。

又如 :

原命题:等腰三角形顶角平分线是底边上的高。(真命题)

逆命题:等腰三角形底边上的高是顶角平分线。(真命题)

因为在等腰三角形这一前提下,顶角平分线和底边上的高都是唯一的,所以互逆的两个命题是等效的。

法则简介

同一法是间接证法的一种。当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时,使用此法往往可以克服这个困难。 用同一法证明的一般步骤是: (1)不从已知条件入手,而是作出符合结论特性的图形; (2)证明所作的图形符合已知条件; (3)推证出所作图形与已知为同一图形.

例题

例:已知:N为正方形ABCD的BC边上一点,延长BA到M,使AM=CN,作DE⊥MN,E为垂足。求证:垂足E在线段AC上。

证明:

设AC与MN的交点为点F,连结AF、DM、DN.

显然易证Rt△MAD≌Rt△NCD,

于是得到DM=DN,∠MDA=∠NDC.

所以∠MDN=∠MDA+∠ADN=∠NDC+∠ADN=∠ADC=90°,

所以△DMN是等腰直角三角形,所以∠DMF=45°,

又∠DAF=45°,所以∠DMF=∠DAF,所以四边形MAFD是圆内接四边形,所以∠MFD=∠MAD=90°,即DF⊥MN,

又DE⊥MN,

由此可见,DF和DE是同一条直线,点F和点E实际是同一个点(经过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线),而F是AC与MN的交点,当然在AC上,

这就证明了DE⊥MN的垂足E在AC上.

说明:本题用直接证法不容易,可改用间接证法(同一法等)

在数学等学科中,同一法是一种较常用的证明方法,除此之外,数学等学科中常用的证明方法还有构造法反证法化归法,等等。

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