更新时间：2023-04-24 00:22
商映射（quotient mapping），是一类连续映射。
设X，Y是两个拓扑空间，映射 称为商映射，如果它是连续的满映射，并且对每个 ，若 是X的开集，则B是Y的开集。
实际上容易看出，商映射即是满足下列两个(等价的)条件之一的满映射
(1) 是开集 是X的开集；
(2) 是闭集 是X的闭集。
定理 1 若 是商映射，则 连续 连续。
证明： ：显然成立。
：设 。 连续，对Z中任一开集V， 是X中开集，由于 是商映射，故 是Y中开集，可见 是连续的。
定理 设 是一个映射， 表示自然映射。则
(1)存在唯一的映射 使得 ，且 是单射，即图一可交换, 叫 的诱导映射；
(2) 是满射 是满射；
(3) 连续 连续。
定理2 没X，Y是两个拓扑空间，～和～’分别为X和Y上的等价关系， 是一个连续映射，且保持关系，即 ， ，则存在一个连续映射 使得图二是个交换图(其中 和 均表示自然映射)，并且当 是商映射时， 也是商映射。
定理3 (J．H．C．Whitehead 1948) 设是商映射，Z是一个局部紧致的Hausdorff空间， 表示恒同映射，则 也是商映射。
定理4 设 是商映射，并且X是局部连通的，则Y也是局部连通的。
关于商映射，有如下一些基本而常用的命题。
命题1 开的(或闭的)连续满映射 是商映射。
但是这个命题的逆命题并不成立。
命题2 如果X是紧致的，Y是 空间，则连续满映射 是商映射。
证明 只需证明f是闭映射即可，对于x中任一闭子集F，由于X是紧空间，故F是紧子集，从而f(F)是Y的紧子集，由于Y是 空间，故f(F)是闭的，因此f是闭映射。
命题3 商映射的复合映射仍然是商映射。
命题4 若 是商映射．则商空间 与Y同胚。
例1 在由正方形粘出圆柱面，环面 , 带，Klein瓶及射影平面的例子中，对应的粘合映射就是相应的商映射。
例2 将三角形两边同向地粘接得到什么空问?
通过图三，四可以看出，适当改变粘合顺序，我们可知所得也是 带：先沿b剪开，再粘合a，最后粘合b，即得到 带。