更新时间：2024-05-21 12:05
环R关于加法对其理想I的陪集之集合构成一个环，称为商环，商环的加法和乘法可以自然地从环R的相应运算中衍生出来。
设R是一个环，I是R的一个理想，R作为加法群关于I的商群R/I对乘法(r1+I)·(r2+I)=(r1r2+I)所作成的环，称为R关于I的商环，或称为R模I的同余类环，记作R/I。
当把环R看作加群时，R是一个交换群，因此任意的理想I均是R的正规子群，从而可以定义商群R/I，商群当然也是一个交换群。我们为了在商群的基础上构造一个环，需要引入商群乘法：(r1+I)·(r2+I)=(r1r2+I)。
显然，这个乘法是可定义的，也就是说对于同一个陪集选取不同代表元不会影响乘法结果。
事实上，我们假设r1+I=r1'+I，r2+I=r2'+I则-r1'+r1∈I，-r2'+r2∈I，因此-r1'r2'+r1r2=(-r1'+r1)r2+(-r2'+r2)r1'∈I即乘法是可定义的。
容易验证上述乘法满足结合律和左右分配律。因此R/I确实构成一个环，称为商环。
引入商环的概念后就可以仿照群同态基本定理推导出环同态基本定理——我们知道抽象代数的主题是围绕着代数结构和态射的，因此环同态基本定理在关于环的理论中具有非常基本的作用。